Kəsilməz və mənfi olmayan f funksiyasının qrafikinin [0; x] parçasında (x > 0) əhatə etdiyi sahə S(x) = x³ + 2x düsturu ilə ifadə olunur. f(2) nəyə bərabərdir?
İzahı göstər
İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə
Sahə funksiyası S(x) və onun törəməsi: S′(x) = f(x)
Əsas fikir
S(x + h) − S(x) fərqi [x; x + h] parçası üzərindəki nazik zolağın sahəsidir. h kiçik olduqda bu zolaq eni h, hündürlüyü f(x) olan düzbucaqlıya yaxınlaşır: S(x + h) − S(x) ≈ h · f(x).
Hər iki tərəfi h-a bölüb h → 0 limitinə keçsək, S′(x) = f(x) alınır. Deməli, sahə funksiyası f-in ibtidai funksiyasıdır. Bu, dərslikdə S = F(b) − F(a) düsturunun çıxarılışıdır.
S′(x) = f(x)
Sahə funksiyası S(x) və eni h olan zolaq
S(x) sahəsinə eni h olan nazik zolaq əlavə olunur. Zolağın sahəsi təqribən h · f(x)-dir, buna görə sahənin artım sürəti hündürlüyə bərabərdir.
Addım-addım həll
- Sahə funksiyasının törəməsini tapırıq: S′(x) = (x³ + 2x)′ = 3x² + 2.
- S′(x) = f(x) olduğu üçün f(x) = 3x² + 2.
- x = 2 qiymətini yerinə qoyuruq: f(2) = 3 · 4 + 2 = 14.
Cavab: f(2) = 14
Yoxlama
f(x) = 3x² + 2 funksiyası kəsilməz və müsbətdir, şərtə uyğundur. Onun [0; 2] parçasında əhatə etdiyi sahəni hesablayaq: ∫₀²(3x² + 2)dx = 8 + 4 = 12. Bu, verilmiş düsturdan alınan S(2) = 8 + 4 = 12 ilə üst-üstə düşür. Həm də S(0) = 0 olur, sıfır enli fiqurun sahəsi kimi.
Niyə digər cavablar səhvdir
- 12— Bu, S(2)-dir, yəni [0; 2] parçasındakı sahə. Soruşulan isə x = 2-dəki hündürlükdür: f(2) = S′(2).
- 8— Törəmə səhv tapılıb: (x³)′ = 3x² olmalıdır, 3x yox.
- 6— Bu, [0; 2] parçasında orta hündürlükdür: S(2)/2 = 6. Bizə isə x = 2 nöqtəsindəki hündürlük lazımdır.
- 2— Bu, f(0) = S′(0)-dır. Törəmə x = 2-də hesablanmalıdır.
Oxşar tapşırıqda
Sahə funksiyası verilibsə, hündürlüyü onun törəməsi verir: f(x) = S′(x). Tərsinə, hündürlük verilibsə, sahəni ibtidai funksiya verir: S = F(b) − F(a).
Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 241 (çap 239).
