y = x² − 2x və y = x + 4 funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik
Əsas fikir
Sərhəd xətləri verilməyibsə, fiqur qrafiklərin iki kəsişmə nöqtəsi arasında yerləşir: f(x) = g(x) tənliyinin kökləri inteqralın sərhədləridir. Sonra sahə adi qayda ilə tapılır:
S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqParabola ilə düz xətt arasındakı fiqur
y = x² − 2x və y = x + 4 funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
- Kəsişmə nöqtələri: x² − 2x = x + 4, yəni x² − 3x − 4 = 0, buradan x = −1 və x = 4.
- Hansı qrafik yuxarıdadır? Aradakı x = 0 nöqtəsində düz xətt 4, parabola 0 qiymətini alır. Deməli, [−1; 4] parçasında düz xətt yuxarıdadır.
- Fərq: (x + 4) − (x² − 2x) = −x² + 3x + 4.
- S = ∫4−1 (−x² + 3x + 4) dx = (−x³/3 + 3x²/2 + 4x)|4−1 = 56/3 − (−13/6).
- 56/3 + 13/6 = 112/6 + 13/6 = 125/6.
- Cavab: S = 125/6 = 20⅚ kv. vahid
y = x² − 2x parabolası ilə y = x + 4 düz xətti arasındakı fiqur
Düz xətt parabolanı (−1; 3) və (4; 8) nöqtələrində kəsir; fiqur bu iki nöqtə arasındadır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Ayrı-ayrı inteqrallarla: ∫4−1 (x + 4) dx = 55/2, ∫4−1 (x² − 2x) dx = 20/3. Fərq 55/2 − 20/3 = 165/6 − 40/6 = 125/6 — eyni cavab. Kəsişmə nöqtələrinin yoxlanması: x = −1-də hər iki funksiya 3, x = 4-də hər ikisi 8 qiymətini alır.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 56/3İnteqral 0-dan 4-ə qədər götürülüb: sol sərhəd kimi kəsişmə nöqtəsi x = −1 deyil, x = 0 seçilib. Fiqurun [−1; 0] hissəsi itib.
- 55/2Bu, yalnız düz xəttin [−1; 4] parçasında altında qalan sahədir. Paraboladan aşağıdakı hissə çıxılmayıb.
- 20/3Bu, ∫(x² − 2x)dx-in [−1; 4] parçasındakı qiymətidir — aşağı qrafikin işarəli inteqralı, fiqurun sahəsi deyil.
- 205/6İki inteqral çıxılmaq əvəzinə toplanıb: 55/2 + 20/3.