Kompleks kökə görə kvadrat tənlik

1 · Əsas fikir

Həqiqi əmsallı tənliyin kompleks kökləri qoşmadır

Qayda

x² + px + q = 0 tənliyinin əmsalları həqiqidirsə və bir kökü a − bi-dirsə, digər kökü a + bi-dir. Viyet düsturları kompleks köklər üçün də doğrudur:

x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKompleks kökə görə kvadrat tənlik

x² + px + q = 0 (p, q həqiqi) tənliyinin bir kökü 4 − 3i-dir. p + q cəmini tapın.

1. İkinci kök. Əmsallar həqiqidir ⇒ x₂ = 4 + 3i (qoşma).
2. p. x₁ + x₂ = (4 − 3i) + (4 + 3i) = 8 = −p ⇒ p = −8.
3. q. x₁·x₂ = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 − 9i² = 16 + 9 = 25 ⇒ q = 25.
4. Cəm. p + q = −8 + 25 = 17. Tənlik: x² − 8x + 25 = 0.

Cavab: 17

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

x² − 8x + 25 = 0 üçün D = 64 − 100 = −36, √−36 = 6i, x = (8 ± 6i)/2 = 4 ± 3i. Verilən kök alındı.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

p = x₁ + x₂ = 8

x² + px + q = 0 tənliyində köklərin cəmi −p-dir, p yox.

Düzgün

x₁ + x₂ = −p ⇒ p = −8

Viyet düsturunda mənfi işarə saxlanılır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 33 — Viyet düsturunda işarə unudulub: p = x₁ + x₂ = 8 götürülüb. Düzgünü x₁ + x₂ = −p, yəni p = −8.
• −1 — Hasil 16 − 9 = 7 kimi hesablanıb: (3i)² = −9 olduğundan (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 − 9i² = 16 + 9 = 25.
• 25 — Bu, yalnız q-dur; p = −8 cəmə əlavə olunmayıb.
• 15 — Hər iki səhv birlikdə edilib: p = 8 və q = 7.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Kompleks ədədlər haqqında» və «Kompleks ədədlər», səh. 17–20.