Kompleks köklər və Viyet düsturları

1 · Əsas fikir

Viyet düsturları kompleks köklər üçün də doğrudur

Qayda

x² + px + q = 0 tənliyinin kökləri z₁, z₂ olarsa, onlar kompleks olsa belə:

z₁ + z₂ = −p, z₁·z₂ = q

Cəbri eyniliklər də dəyişmir: z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² − 2z₁z₂.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKompleks köklər və Viyet düsturları

z₁ və z₂ — x² + 2x + 10 = 0 tənliyinin kökləridir. z₁² + z₂² cəmini tapın.

1. Viyet. z₁ + z₂ = −2, z₁·z₂ = 10.
2. Eynilik. z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² − 2z₁z₂.
3. Hesablayırıq. (−2)² − 2·10 = 4 − 20 = −16. Kompleks ədədlərin kvadratları həqiqi ədədlərinki kimi həmişə müsbət olmur, ona görə mənfi cəm təəccüblü deyil.

Cavab: −16

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Kökləri açıq tapaq: D = 4 − 40 = −36, √−36 = 6i, z = (−2 ± 6i)/2 = −1 ± 3i. (−1 + 3i)² = 1 − 6i + 9i² = −8 − 6i, (−1 − 3i)² = −8 + 6i. Cəm: −16. Hər iki yol eyni nəticə verir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(z₁ + z₂)² + 2z₁z₂

Eynilikdə işarəni səhv yazmaq: 4 + 20 = 24 alınar.

Düzgün

(z₁ + z₂)² − 2z₁z₂

(a + b)² = a² + 2ab + b² ⇒ a² + b² = (a + b)² − 2ab.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 24 — Eynilikdə işarə səhvi: z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² + 2z₁z₂ yazılıb. Düzgünü (z₁ + z₂)² − 2z₁z₂-dir.
• −6 — 2z₁z₂ əvəzinə z₁z₂ çıxılıb: 4 − 10.
• 20 — Kökləri kvadrata yüksəldəndə i² = 1 götürülüb: (−1 + 3i)² = 1 − 6i + 9 = 10 − 6i yazılıb. Əslində 9i² = −9.
• −24 — (z₁ + z₂)² = (−2)² əvəzinə −4 yazılıb; mənfi ədədin kvadratı müsbətdir.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Kompleks ədədlər haqqında» və «Kompleks ədədlər», səh. 17–20.