Rənglənmiş fiqurun sahəsinin düsturu

Rənglənmiş fiqurun sahəsinin düsturu

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

Sahə həmişə müsbətdir. Oxdan yuxarıdakı hissənin sahəsi inteqralın özüdür, oxdan aşağıdakı hissənin sahəsi inteqralın əksidir (inteqral orada mənfidir). Ona görə parçanı qrafikin oxu kəsdiyi nöqtələrdə bölür, hər hissəyə öz işarəsini veririk.

f ≤ 0 olan hissədə: S = |∫cbf dx| = −∫cbf dx

y = f(x) qrafiki x = b və x = c nöqtələrində oxu kəsir; [a; d] parçasında fiqur rənglənib

[a; b] və [c; d] parçalarında qrafik oxdan yuxarıdadır, [b; c] parçasında aşağıdadır.

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqRənglənmiş fiqurun sahəsinin düsturu

Qrafik x = b və x = c-də oxu kəsir. Rənglənmiş fiqurun sahəsini müəyyən inteqrallarla yazın.

1. İşarələri qrafikdən oxuyuruq: [a; b] parçasında f(x) ≥ 0, [b; c] parçasında f(x) ≤ 0, [c; d] parçasında f(x) ≥ 0.
2. Yuxarıdakı hissələr: S1 = ∫baf dx, S3 = ∫dcf dx — bu inteqrallar müsbətdir.
3. Aşağıdakı hissə: ∫cbf dx < 0, ona görə S2 = −∫cbf dx.
4. S = S1 + S2 + S3 = ∫baf dx − ∫cbf dx + ∫dcf dx. S = ∫[a; b] f(x)dx − ∫[b; c] f(x)dx + ∫[c; d] f(x)dx

Yoxlama: seçilmiş ifadənin hər üç həddi müsbətdir — birinci və üçüncü inteqral müsbət, ikinci inteqral mənfi olduğu üçün qarşısındakı «−» onu müsbət edir. Deməli, ifadə üç sahənin cəmidir.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

∫[a; d] f(x)dx

Bütün parça üzrə inteqral S₁ − S₂ + S₃-dir, sahə deyil.

Düzgün

∫[a; b] − ∫[b; c] + ∫[c; d]

Aşağıdakı hissənin inteqralı mənfidir, «−» onu sahəyə çevirir.

• «∫[a; d] f(x)dx» — Bütün parça üzrə inteqral oxdan aşağıdakı hissəni çıxır: S₁ − S₂ + S₃. Bu, fiqurun sahəsi deyil.
• «|∫[a; d] f(x)dx|» — Modul hissələr bir-birini yox etdikdən sonra götürülür: |S₁ − S₂ + S₃|. Sahə üçün hər hissənin modulu ayrıca toplanmalıdır.
• «∫[a; b] f(x)dx + ∫[b; c] f(x)dx − ∫[c; d] f(x)dx» — Mənfi işarə səhv hissəyə verilib: [c; d] parçasında qrafik oxdan yuxarıdadır, [b; c] parçasında isə aşağıdadır.
• «−∫[a; b] f(x)dx + ∫[b; c] f(x)dx − ∫[c; d] f(x)dx» — Bu, düzgün ifadənin əksidir; üç həddin hamısı mənfidir və nəticə −S olur. Sahə mənfi ola bilməz.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.