Müəyyən inteqralı hesablayın.
İzahı göstər
Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah
Sinusun müəyyən inteqralı
Hesablayın: 2π/30sin x dx
1 · Əsas fikir
Hansı qayda işləyir?
Nyuton-Leybnis düsturu
f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:
baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)
Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.
sin x funksiyasının ibtidai funksiyası −cos x-dir, çünki (−cos x)′ = sin x. Düsturda bu mənfi işarəni hər iki sərhəddə saxlamaq lazımdır.
2 · Həll
Addım-addım həll
HəllTriqonometrik
- İbtidai funksiyanı seçirik: F(x) = −cos x, (−cos x)′ = sin x
- Yuxarı sərhəd: 2π/3 ikinci rübdədir, kosinus orada mənfidir: cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2. F(2π/3) = −(−1/2) = 1/2
- Aşağı sərhəd: F(0) = −cos 0 = −1
- Fərq: 2π/30sin x dx = −cos x2π/30 = 1/2 − (−1) = 32 / Cavab: 3/2
y = sin x qrafiki və [0; 2π/3] parçası
Funksiya bu parçada mənfi deyil, ona görə inteqralın qiyməti rənglənmiş sahəyə bərabərdir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
[0; 2π/3] parçasında sin x ≥ 0 və sin x ≤ 1, ona görə nəticə 0 ilə parçanın uzunluğu 2π/3 ≈ 2,09 arasında olmalıdır. 3/2 = 1,5 bu aralıqdadır və işarəsi müsbətdir.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- −3/2İbtidai funksiya kimi cos x götürülüb: (cos x)′ = −sin x, ona görə işarə tərs çıxır. Bu parçada sin x ≥ 0, inteqral mənfi ola bilməz.
- 1/2Aşağı sərhəd unudulub: yalnız −cos(2π/3) = 1/2 götürülüb. F(0) = −cos 0 = −1 sıfır deyil.
- √3/2İbtidai funksiya kimi sin x götürülüb — o, cos x-in ibtidai funksiyasıdır: sin(2π/3) − sin 0 = √3/2.
- −1/2Mötərizə səhvi: −cos b − cos a = 1/2 − 1 yazılıb. Düzgün: −cos b − (−cos a).
Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.