Mətn
Laboratoriya təcrübəsinin ilk 5 dəqiqəsi ərzində məhlulun temperaturu (°C ilə) aşağıdakı funksiya ilə modelləşdirilir; burada t — təcrübə başlayandan keçən vaxtdır (dəqiqə ilə), 0 ≤ t ≤ 5.
t-nin hansı qiymətlərində məhlulun temperaturu 0 °C olmuşdur?
İzahı göstər
6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah
Temperaturun sıfır olduğu anlar
T(t) = t3 − 7t2 + 14t − 8, 0 ≤ t ≤ 5. Temperatur hansı anlarda 0 °C olub?
1 · Əsas fikir
Rasional köklər haqqında teorem
Yadda saxla
Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və
- p — sərbəst həddin (a0) böləni,
- q — baş əmsalın (an) böləni.
- Nəticə 1. Baş əmsal ±1 olduqda rasional köklər yalnız tam ədədlər ola bilər.
- Nəticə 2. Tam kök (varsa) sərbəst həddin bölənidir.
Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.
2 · Həll
Addım-addım həll
SualTemperaturun sıfır olduğu anlar
T(t) = t3 − 7t2 + 14t − 8, 0 ≤ t ≤ 5. Temperatur hansı anlarda 0 °C olub?
- Temperatur 0 °C olan anlar T(t) = 0 tənliyinin kökləridir.
- Baş əmsal 1-dir: rasional köklər tamdır və 8-in bölənləridir: ±1, ±2, ±4, ±8.
- T(1) = 1 − 7 + 14 − 8 = 0. Sintetik bölmə (1-ə): 1, −7, 14, −8 → 1, −6, 8, qalıq 0. Qismət: t2 − 6t + 8.
- t2 − 6t + 8 = (t − 2)(t − 4), kökləri 2 və 4.
- Köklər 1, 2, 4 — hər üçü 0 ≤ t ≤ 5 aralığındadır. t = 1, t = 2 və t = 4 (dəqiqə)
Temperaturun zamandan asılılıq qrafiki T(t) = t³ − 7t² + 14t − 8
T(t) qrafiki (0 ≤ t ≤ 5): temperatur t = 1, t = 2 və t = 4 anlarında 0 °C olur.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
T(2) = 8 − 28 + 28 − 8 = 0, T(4) = 64 − 112 + 56 − 8 = 0. Model məntiqlidir: T(0) = −8 °C, T(1,5) ≈ 0,6 °C, T(3) = −2 °C, T(5) = 12 °C — temperatur sıfırdan üç dəfə keçir.
4 · Diqqət
Niyə digər cavablar səhvdir
- yalnız t = 1 ilk kök tapılandan sonra həll dayandırılıb; qismət t² − 6t + 8 daha iki kök verir.
- t = 2 və t = 4 sintetik bölmədə istifadə olunan kök (t = 1) unudulub.
- t = 1, t = 2 və t = 8 8 namizəddir, kök deyil (T(8) = 168) və 0 ≤ t ≤ 5 aralığından kənardır.
- t = 1, t = 3 və t = 4 T(3) = 27 − 63 + 42 − 8 = −2 ≠ 0.
Tipik səhv
Bir kök tapıb dayanmaq.
Düzgün yanaşma
Kub tənliyin üç kökə qədər həqiqi kökü ola bilər; qisməti də həll etmək lazımdır.
Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.