Mətn
P(x) — baş əmsalı 1 olan və bütün əmsalları tam ədəd olan çoxhədlidir. Aşağıdakı fikirlər verilmişdir:
- I. P(x)-in hər bir rasional kökü tam ədəddir.
- II. P(x)-in hər bir tam kökü onun sərbəst həddinin bölənidir.
- III. P(x)-in həqiqi kökü varsa, bu kök mütləq rasional ədəddir.
Hansı fikirlər doğrudur?
İzahı göstər
6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah
Rasional köklər teoreminin nəticələri
Baş əmsalı 1 olan tam əmsallı P(x) üçün I, II, III fikirlərindən hansıların doğru olduğunu müəyyən edin.
1 · Əsas fikir
Rasional köklər haqqında teorem
Yadda saxla
Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və
- p — sərbəst həddin (a0) böləni,
- q — baş əmsalın (an) böləni.
- Nəticə 1. Baş əmsal ±1 olduqda rasional köklər yalnız tam ədədlər ola bilər.
- Nəticə 2. Tam kök (varsa) sərbəst həddin bölənidir.
Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.
2 · Həll
Addım-addım həll
SualRasional köklər teoreminin nəticələri
Baş əmsalı 1 olan tam əmsallı P(x) üçün I, II, III fikirlərindən hansıların doğru olduğunu müəyyən edin.
- I. Rasional kök p/q olarsa, q baş əmsalın, yəni 1-in bölənidir: q = ±1. Deməli, kök ±p — tam ədəddir. Doğrudur (Nəticə 1).
- II. Tam kök m = m/1 şəklindədir; teoremə görə surət m sərbəst həddin bölənidir. Doğrudur (Nəticə 2).
- III. Əks nümunə: P(x) = x2 − 2. Baş əmsal 1, əmsallar tam. Namizədlər ±1, ±2: P(±1) = −1, P(±2) = 2 — rasional kök yoxdur. Amma həqiqi köklər var: x = ±√2 (irrasional). Səhvdir.
- Doğru fikirlər: I və II. I və II doğrudur, III səhvdir
y = x² − 2 parabolası
x² − 2: namizədlərin (±1, ±2) heç biri kök deyil, həqiqi köklər ±√2 isə irrasionaldır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Konkret çoxhədli ilə yoxlama: x³ − 4x² + x + 6-nın kökləri −1, 2, 3 — hamısı tamdır (I) və 6-nın bölənləridir (II).
4 · Diqqət
Niyə digər cavablar səhvdir
- Yalnız I II də doğrudur: tam kök m/1 kəsridir, surəti sərbəst həddi bölməlidir.
- Yalnız II I də doğrudur: q = ±1 olduğundan hər rasional kök tamdır.
- I və III III səhvdir: x² − 2-nin həqiqi kökləri ±√2 irrasionaldır.
- I, II və III III səhvdir — teorem yalnız rasional kökləri məhdudlaşdırır, həqiqi köklər irrasional ola bilər.
Tipik səhv
«Rasional kök yoxdursa, kök yoxdur» düşüncəsi.
Düzgün yanaşma
Teorem namizədləri yalnız rasional köklər üçün verir; irrasional həqiqi köklər (məsələn, ±√2) bu siyahıya düşmür.
Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.