Köklərin kubları cəmi

1 · Əsas fikir

Viyet teoremi

Əsas fikir

Dərslikdəki teorem: «Çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, köklərinin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir.»

x² + px + q = 0 x₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q

Kubların cəmi düsturu və kvadratlar cəmi:

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² − x₁x₂ + x₂²)x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

Hər ikisini birləşdirəndə: x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)((x₁ + x₂)² − 3x₁x₂).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKöklərin kubları cəmi

x² − 4x − 3 = 0: x₁³ + x₂³ = ?

1. Həqiqi köklər varmı? D = 16 − 4 · (−3) = 28 > 0.
2. Viyet teoremi: x₁ + x₂ = 4, x₁ · x₂ = −3.
3. Kvadratlar cəmi: x₁² + x₂² = 4² − 2 · (−3) = 16 + 6 = 22.
4. Mötərizə: x₁² − x₁x₂ + x₂² = 22 − (−3) = 25.
5. Kubların cəmi: x₁³ + x₂³ = 4 · 25 = 100.
6. Cavab: x₁³ + x₂³ = 100

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Köklər 2 ± √7-dir (D = 28, √28 = 2√7). (2 + √7)³ + (2 − √7)³ cəmində √7 olan hədlər silinir: 2 · (2³ + 3 · 2 · 7) = 2 · (8 + 42) = 100.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −100Cəmin işarəsi səhvdir: x₁ + x₂ = −p = +4, −4 yox. −4 götürsək, 4³ yerinə (−4)³ alınır.
• 28Mənfi hasilin işarəsi itib: −3x₁x₂ = −3 · (−3) = +9 olmalıdır; burada 16 − 9 = 7 götürülüb, 4 · 7 = 28.
• 64Bu, yalnız (x₁ + x₂)³-dür. x₁³ + x₂³ cəmin kubuna bərabər deyil: (x₁ + x₂)³-də 3x₁x₂(x₁ + x₂) də var.
• 76Kvadratlar cəmi 16 kimi götürülüb (2x₁x₂ unudulub): 4 · (16 + 3) = 76.