Tam ədədlər üzərində əməllər

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: axşamdır, mətbəxdə divar saatı tıqqıldayır. Səbinə masa arxasında riyaziyyat tapşırığı yazır. Qarşısında elmi kalkulyator var. Tapşırıq çox sadə görünür: mənfi beşin dördüncü qüvvətini hesablamaq. Səbinə düymələri basır: mənfi, beş, qüvvət, dörd. Ekranda cavab görünür: mənfi altı yüz iyirmi beş. Səbinə duruxur. Axı mənfi beşi dörd dəfə özünə vuranda dörd mənfi vuruq olur. Cavab müsbət çıxmalı deyildimi? Bəs kim səhv edir: kalkulyator, yoxsa Səbinə? Bu dinləmə dərsində bu sirri birlikdə açacağıq. Yolda tam ədədlərlə işləməyin qaydalarını öyrənəcəyik: mənfi ədədin qüvvətini, mötərizənin nə dediyini, əməllərin hansı növbə ilə aparıldığını, hesabı asanlaşdıran yolları və cavabı necə yoxlamağı. Sonda Səbinənin kalkulyatoruna qayıdacağıq. Birinci fəsil: mənfi ədədin qüvvəti. Qüvvət eyni vuruqların hasilini qısa yazmağın yoludur. Natural ədədlərdə bunu artıq bilirsiniz. Tam ədədlərdə də eynidir. Məsələn, mənfi ikinin kubu mənfi ikinin üç dəfə vuruq kimi təkrarlanmasıdır. Gəlin addım-addım hesablayaq. Mənfi iki vur mənfi iki, müsbət dörd. İki mənfi bir-birini sanki söndürdü. Dördü yenə mənfi ikiyə vururuq və mənfi səkkiz alırıq. Deməli, mənfi ikinin kubu mənfi səkkizdir. Bir vuruq da əlavə etsək, mənfi ikinin dördüncü qüvvəti alınır: mənfi səkkiz vur mənfi iki, müsbət on altı. Burada gözəl bir qanunauyğunluq var. Mənfi vuruqlar cüt-cüt birləşir və hər cüt müsbət ədəd verir. Qüvvətin üstü cüt ədəddirsə, hər mənfi vuruq özünə cüt tapır və nəticə müsbət olur. Üstü tək ədəddirsə, bir mənfi vuruq tək qalır və nəticə mənfi olur. Qısaca: mənfi ədədin cüt dərəcədən qüvvəti müsbət, tək dərəcədən qüvvəti isə mənfidir. İkinci fəsil: mötərizə nə deyir? İndi iki yazılışı yan-yana qoyaq. Birincisində mənfi beş mötərizənin içindədir və mötərizə kvadrata yüksəldilir. Bunu belə oxuyuruq: mənfi beşin kvadratı. İkincisində mötərizə yoxdur: əvvəl mənfi işarəsi, sonra beş və onun kvadratı. Bunu isə belə oxuyuruq: beşin kvadratının əksi. Bu iki yazılış bir-birinə çox oxşayır, amma cavabları tam fərqlidir. Mənfi beşin kvadratı mənfi beş vur mənfi beşdir, yəni müsbət iyirmi beş. Beşin kvadratının əksi isə belə tapılır: əvvəl beşin kvadratı, iyirmi beş, sonra onun əksi, mənfi iyirmi beş. Mötərizə olmayanda qüvvət yalnız beşə aiddir, mənfi işarəsi isə ən sonda gəlir. Ona görə dərsliyimiz xəbərdarlıq edir: mənfi ədədi qüvvətə yüksəldəndə qüvvətin əsası mötərizədə yazılır. Mötərizə sanki deyir: bu mənfi beş bir bütövdür, qüvvətə birlikdə yüksəlir. Səbinənin ekranını xatırlayırsınız? Sirrin açarı elə buradadır. Amma hələ tələsməyək. Üçüncü fəsil: əməllərin növbəsi. Bir ifadədə bir neçə əməl olanda onları istədiyimiz sıra ilə edə bilmərik. Dərslik dörd addımlı növbə verir. Birinci: mötərizənin, yaxud modul işarəsinin içi. İkinci: qüvvətə yüksəltmə. Üçüncü: vurma və bölmə, soldan sağa. Dördüncü: toplama və çıxma, yenə soldan sağa. Bir nümunəyə baxaq. İfadə belədir: mənfi üç, üstəgəl beş vur mənfi ikinin kvadratı. Əvvəlcə qüvvət: mənfi ikinin kvadratı müsbət dörddür. Sonra vurma: beş vur dörd, iyirmi. Ən sonda toplama: mənfi üç üstəgəl iyirmi, on yeddi. Tələsən biri isə soldan sağa gedərdi: mənfi üç üstəgəl beş, iki; sonra iki vur dörd, səkkiz. Cavab tamam başqa çıxır. Növbə pozulanda ifadənin mənası da dəyişir. Mötərizə və modul isə növbədə hamıdan öndədir. Məsələn, mənfi ikini mənfi səkkiz ilə üçün cəminin moduluna vuraq. Əvvəl modulun içi: mənfi səkkiz üstəgəl üç, mənfi beş. Mənfi beşin modulu müsbət beşdir. Sonra vurma: mənfi iki vur beş, mənfi on. Dördüncü fəsil: əlverişli yol. Vurmanın xassələri tam ədədlər üçün də doğrudur. Vuruqların yerini dəyişmək olar və onları istədiyimiz kimi qruplaşdırmaq olar. Bu, hesabı xeyli asanlaşdırır. Məsələn, mənfi iyirmi beş vur doqquz vur dörd. Soldan sağa getsək, böyük ədədlərlə əlləşəcəyik. Amma mənfi iyirmi beşi dördlə qruplaşdıraq: mənfi yüz. Mənfi yüz vur doqquz isə ağılda hesablanır: mənfi doqquz yüz. Paylama xassəsi də köməyə gəlir. Bir ədədi cəmə vurmaq üçün onu hər toplanana ayrıca vurub nəticələri toplamaq olar. Məsələn, mənfi səkkiz vur yüz iki. Yüz ikini yüz üstəgəl iki kimi düşünək. Mənfi səkkiz vur yüz, mənfi səkkiz yüz. Mənfi səkkiz vur iki, mənfi on altı. Birlikdə mənfi səkkiz yüz on altı. Bu yol tərsinə də işləyir: iki hasildə eyni vuruq varsa, onu bir dəfə mötərizə xaricinə çıxarmaq olar. Beşinci fəsil: dənizin dərinliyində. Tam ədədlər gündəlik həyatda da işləyir. Dəniz səviyyəsini sıfır qəbul edək. Ondan yuxarıdakı hündürlüklər müsbət, aşağıdakı dərinliklər isə mənfi ədədlə yazılır. İndi təsəvvür edin, bir pinqvin balıq dalınca suya baş vurur və dəniz səviyyəsindən doxsan metr aşağıya enir. Sonra hər dəqiqə iyirmi metr yuxarı qalxır. Üç dəqiqədən sonra o harada olacaq? İfadə quraq: mənfi doxsan üstəgəl üç vur iyirmi. Əvvəl vurma: üç dəqiqədə pinqvin cəmi altmış metr qalxır. Sonra toplama: mənfi doxsan üstəgəl altmış, mənfi otuz. Deməli, pinqvin dəniz səviyyəsindən otuz metr aşağıda olacaq. İndi cavabı yoxlayaq. Birinci yol: geriyə getmək. Mənfi otuzdan altmış metr aşağı ensək, yenə mənfi doxsana qayıdırıq. İkinci yol: məntiqlə yoxlamaq. Pinqvin altmış metr qalxdı, amma doxsan metr dərinlikdə idi. Deməli, hələ suyun altındadır və cavab mənfi olmalıdır. Elə də çıxdı. Hasilin işarəsini hesablamadan da təxmin etmək olar. Mənfi vuruqları sayın: sayı cütdürsə, hasil müsbətdir, təkdirsə, mənfidir. Hesabın sonunda cavab bu təxminlə düz gəlmirsə, deməli, harasa səhv girib. İndi Səbinənin mətbəxinə qayıdaq. O, mənfi, beş, qüvvət, dörd yazdı, amma mötərizə qoymadı. Kalkulyator bunu beşin dördüncü qüvvətinin əksi kimi başa düşdü: əvvəl beşin dördüncü qüvvəti, altı yüz iyirmi beş, sonra onun əksi. Səbinə mənfi beşi mötərizəyə alır və yenidən hesablayır. İndi ekranda müsbət altı yüz iyirmi beş var. Dörd mənfi vuruq, iki cüt, müsbət cavab. Kalkulyator səhv etməmişdi. Sadəcə, ona başqa sual verilmişdi. Qısaca xatırlayaq. Əvvəl mötərizə və modul, sonra qüvvət, sonra vurma və bölmə, ən sonda toplama və çıxma. Mənfi ədədi qüvvətə yüksəldəndə onu mötərizəyə alın. Hesabı qruplaşdırma ilə asanlaşdırın və cavabı mütləq yoxlayın. Yadda saxlamalı bir fikir: riyazi ifadə bir cümlə kimidir, mötərizə və əməllərin növbəsi isə onun qrammatikasıdır. Qrammatikaya əməl edəndə hamı, hətta kalkulyator da, eyni cavabı alır.