Tam ədədlər

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: Antarktida. Hər tərəf buz və qardır, soyuq külək əsir. Min doqquz yüz səksən üçüncü ildə burada Yer kürəsinin ən soyuq temperaturu qeydə alınıb: təxminən səksən doqquz dərəcə şaxta. Bəs bu soyuğu ədədlə necə yazaq? Bildiyimiz natural ədədlər bir, iki, üç deyə sıfırdan yuxarı qalxır. Sıfırdan aşağı isə düşə bilmir. Səksən doqquz dərəcə şaxtanı yazmaq üçün bizə yeni ədədlər lazımdır. Bu dinləmə dərsində həmin yeni ədədlərlə tanış olacağıq: mənfi ədədlərlə. Sonra onları müsbət ədədlər və sıfırla birləşdirib böyük bir ailə quracağıq, tam ədədlər ailəsini. Sonda Antarktidadakı o soyuğun necə yazıldığını və necə oxunduğunu biləcəksiniz. Birinci fəsil: sıfırdan yuxarı, sıfırdan aşağı. Termometrdə sıfır dərəcə suyun buz bağladığı temperaturdur. Ondan yuxarısı istilik, aşağısı şaxtadır. Kəmiyyətin sıfırdan kiçik qiymətlərini yazmaq üçün mənfi ədədlərdən istifadə edirik. Mənfi ədədin qarşısına kiçik bir xətt, mənfi işarəsi yazılır. Sıfırdan beş dərəcə aşağı temperaturu mənfi beş kimi yazırıq və belə oxuyuruq: mənfi beş dərəcə. Sıfırdan yuxarı olan ədədlər isə müsbət ədədlərdir. Onların qarşısına üstəgəl işarəsi qoymaq olar: müsbət üç. Amma adətən bu işarəni yazmırıq. Sadəcə üç desək, müsbət üç nəzərdə tutulur. Sıfır təkcə termometrdə yoxdur. Dəniz sahilinə gedək. Dəniz səviyyəsini sıfır qəbul edək. Bir qaranquş suyun üstündə, iyirmi metr hündürlükdə uçur. Onun yerini müsbət iyirmi metr kimi yazırıq. Bir balıq isə suyun altında, on beş metr dərinlikdə üzür. Onun yeri mənfi on beş metrdir. Hündürlük müsbət, dərinlik isə mənfi ədədlə yazılır. Binalarda da belədir. Ticarət mərkəzində lift yerin altına, avtodayanacağa enir. Qapı açılır və tablo mənfi bir göstərir. Bu, yer səthindən aşağıdakı birinci qatdır. Bütün bu hallarda fikir eynidir. Əvvəlcə sıfır nöqtəsini seçirik: dəniz səviyyəsi, yer səthi, ya da suyun donduğu temperatur. Sonra bir tərəfi müsbət, əks tərəfi mənfi sayırıq. Mənfi ədəd bizə deyir: sıfırdan o biri tərəfə, bu qədər. İkinci fəsil: ədəd oxu. Termometri yan üstə uzadılmış bir düz xətt kimi təsəvvür edin. Ortada sıfır durur. Ondan sağa bərabər addımlarla bir, iki, üç gəlir. Bunlar müsbət ədədlərdir. Sola isə mənfi bir, mənfi iki, mənfi üç gəlir. Bunlar mənfi ədədlərdir. Belə xətt üzərində üç şey seçilir: hesablama başlanğıcı, yəni sıfır nöqtəsi; vahid parça, yəni bir addımın uzunluğu; və müsbət istiqamət, adətən sağa. Bunlar seçilmiş düz xəttə koordinat oxu deyilir. Sıfır nöqtəsinə isə koordinat başlanğıcı deyirik və onu O hərfi ilə işarə edirik. Nöqtənin koordinat oxundakı yerini göstərən ədədə onun koordinatı deyilir. A nöqtəsi sıfırdan dörd addım sağdadırsa, onun koordinatı dörddür. B nöqtəsi sıfırdan üç addım soldadırsa, koordinatı mənfi üçdür. Koordinatı nöqtənin adından sonra, mötərizədə yazırıq. Bir vacib qeyd: sıfır nə müsbət, nə də mənfi ədəddir. O, iki tərəfin sərhədidir. Müsbət ədədlər sıfırdan böyük, mənfi ədədlər isə sıfırdan kiçikdir. İndi ox üzərində yeriyək. Axşam termometr iki dərəcə istilik göstərir. Gecə hava beş dərəcə soyuyur. Səhər termometr neçə dərəcə göstərəcək? Göstəricini dərəcə-dərəcə aşağı endirək: bir, sıfır, mənfi bir, mənfi iki, mənfi üç. Beş addım. Səhər termometr mənfi üç dərəcə göstərir, yəni üç dərəcə şaxta. Diqqət edin: sıfırdan keçəndə dayanmırıq, sıfır da bir pillədir. Üçüncü fəsil: əks ədədlər. Yenə dənizə qayıdaq. Suyun üstündə, dəniz səviyyəsindən on metr yuxarıda bir qağayı uçur. Düz qağayının altında, suyun içində, on metr dərinlikdə bir dalğıc üzür. Qağayının yeri on, dalğıcın yeri mənfi ondur. Biri sıfırdan yuxarıda, o biri aşağıdadır, amma hər ikisi sıfırdan eyni məsafədədir. Ədəd oxunda sıfırdan əks tərəflərdə və eyni məsafədə yerləşən ədədlərə əks ədədlər deyilir. On ilə mənfi on əks ədədlərdir. Üçün əksi mənfi üç, mənfi üçün əksi isə üçdür. Ona görə belə ədədlərə qarşılıqlı əks ədədlər də deyirik. Bəs əksin əksi nədir? Ox üzərində üç nöqtəsində dayandığınızı təsəvvür edin. Əksinə keçmək sıfırın üstündən o biri tərəfə, eyni məsafəyə tullanmaq deməkdir. Bir tullanış, və siz mənfi üçdəsiniz. Bir də tullanın: yenə üçə qayıtdınız. Deməli, mənfi üçün əksi üçdür. Dərslikdə bu belə yazılır: mənfi, mötərizədə mənfi üç, bərabərdir üç. Dördüncü fəsil: tam ədədlər ailəsi. İndi əlimizdə üç dəstə ədəd var. Birincisi natural ədədlərdir: bir, iki, üç və sairə. İkincisi onların əksləridir: mənfi bir, mənfi iki, mənfi üç və sairə. Üçüncüsü isə tək bir ədəddir: sıfır. Natural ədədlər, onların əksi olan ədədlər və sıfır birlikdə tam ədədlər adlanır. Natural ədədlərə müsbət tam ədədlər, onların əkslərinə isə mənfi tam ədədlər deyilir. Ox üzərində tam ədədlər sıfırdan hər iki tərəfə bərabər addımlarla düzülür və heç bir tərəfdə sona çatmır. Bəs hansı ədədlər tam deyil? Yarım, ya da üç tam onda iki kimi ədədlər iki qonşu tam ədədin arasına düşür, addımın düz üstünə yox. Ona görə onlar tam ədəd deyil. Bir tələyə də düşməyin: sıfır natural ədəd deyil, amma tam ədəddir. Beşinci fəsil: mənfi ədədlərin tarixi. Maraqlıdır ki, dərsliyimizdəki bu tarixin hər addımı pulla bağlıdır. Eramızdan əvvəl təxminən ikinci əsrdə Çində ticarət və vergi hesablamalarında mənfi ədədlərdən istifadə olunmağa başlanıb. Eramızın yeddinci əsrindən başlayaraq Hindistanda borcları ifadə etmək üçün mənfi ədədlərdən istifadə olunub. Fikir sadədir: əlinizdə on sikkə varsa, bu, müsbət ondur. Kiməsə on sikkə borclusunuzsa, sanki sıfırdan da aşağıdasınız: mənfi on. Mənfi ədədin işarəsini isə, dərsliyimizə görə, ilk dəfə on üçüncü əsrdə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi işlədib. O, maliyyə məsələlərini həll edəndə borcu mənfi ədədlərlə ifadə edirdi. Yəni mənfi ədədlər əvvəlcə borcun dili idi. Bu gün isə biz onları termometrdə, dənizin dərinliyində və liftin tablosunda görürük. İndi Antarktidaya qayıdaq. Həmin rekord soyuğu artıq yaza bilirik: mənfi səksən doqquz dərəcə. Ox üzərində bu nöqtə sıfırdan səksən doqquz addım soldadır. Onun əksi isə müsbət səksən doqquzdur: sıfırdan eyni məsafədə, amma o biri tərəfdə. Yadda saxlamalı bir fikir: sıfır başlanğıc nöqtəsidir. Ondan bir tərəfə müsbət, o biri tərəfə mənfi ədədlər düzülür. Natural ədədlər, onların əksləri və sıfır birlikdə tam ədədləri təşkil edir. Növbəti dərsdə bu ədədləri müqayisə etməyi və sıraya düzməyi öyrənəcəyik.