Tam ədədlərin çıxılması

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: qarlı bir dağın yamacındasınız. Külək dayanmadan əsir. Alpinistlər burada, dəniz səviyyəsindən iki min metr yüksəklikdə düşərgə qurublar. Eyni anda, uzaqlarda, dənizin dərinliyində bir sualtı qayıq üzür. O, dəniz səviyyəsindən beş yüz metr aşağıdadır. Sualımız belədir: düşərgə ilə sualtı qayıq arasında hündürlük fərqi neçə metrdir? Çoxları tələsik belə hesablayır: iki mindən beş yüzü çıxırlar və min beş yüz metr alırlar. Amma bu cavab səhvdir, özü də az səhv deyil! Bu dinləmə dərsində tam ədədləri çıxmağı öyrənəcəyik. Sonda bu suala qayıdıb doğru cavabı birlikdə tapacağıq. Birinci fəsil: çıxmaq, əksini toplamaq deməkdir. Əvvəlcə ədəd oxunu xatırlayaq. Sıfırın sağında müsbət ədədlər, solunda isə mənfi ədədlər durur. Müsbət ədəd toplayanda sağa, mənfi ədəd toplayanda sola addımlayırıq. İndi beşdən üçü çıxaq. Ədəd oxunda beşin üstündə dayanırıq və üç addım sola gedirik. Gəlib ikiyə çatdıq. Bəs beşə mənfi üçü toplasaq? Mənfi üç də bizi üç addım sola aparır və yenə ikiyə çatırıq. Deməli, beşdən üçü çıxmaq, beşə mənfi üçü toplamaqla eynidir. Bu, təsadüf deyil, qaydadır. Bir ədəddən başqa bir ədədi çıxmaq üçün, birinci ədədə çıxılanın əksini toplayırıq. Xatırlayın: üçün əksi mənfi üçdür, mənfi üçün əksi isə üçdür. Beləliklə, hər çıxma əməlini toplama ilə əvəz etmək olur. Dərsliyimiz bunu kiçik dairələrlə də göstərir. Bəzi dairələrin üstündə artı, bəzilərinin üstündə mənfi işarəsi var. Bir artı ilə bir mənfi dairə birlikdə sıfır edir. İndi mənfi ikidən biri çıxmalıyıq. Masada iki mənfi dairə var, artı dairə isə heç yoxdur. Ona görə masaya bir artı və bir mənfi dairə əlavə edirik. Bu cüt sıfırdır, heç nəyi dəyişmir. İndi həmin artı dairəni götürürük. Masada üç mənfi dairə qalır. Deməli, mənfi ikidən biri çıxsaq, mənfi üç alınır. Mənfi iki üstə gəl mənfi bir də elə mənfi üçdür. İkinci fəsil: mənfi ədədi çıxmaq. İndi ən maraqlı hissəyə gəldik. Mənfi ikidən mənfi beşi çıxaq. Qaydaya görə, mənfi beşin əksini, yəni beşi toplayırıq: mənfi iki üstə gəl beş. Ədəd oxunda mənfi ikidən beş addım sağa gedirik və üçə çatırıq. Cavab üçdür. Diqqət edin: çıxdıq, amma nəticə böyüdü! Mənfi ədədi çıxanda nəticə azalmır, artır. Niyə belədir? Gündəlik bir misal düşünək. Dostunuza beş manat borcunuz var və siz bunu dəftərdə mənfi beş kimi yazmısınız. Bir gün dostunuz bu borcu bağışlayır və onu dəftərdən silir. Mənfi beş silindi, yəni çıxıldı. Sizin vəziyyətiniz pisləşdi, yoxsa yaxşılaşdı? Əlbəttə, yaxşılaşdı: beş manat borcdan qurtardınız. Borcu silmək, beş manat qazanmaq kimidir. Buz kamerasında da eyni şeyi görürük. Kamerada temperatur mənfi iyirmi dərəcədir. Qapısı uzun müddət açıq qalır və temperatur mənfi beş dərəcəyə qalxır. Temperatur nə qədər dəyişdi? Dəyişməni tapmaq üçün son temperaturdan ilk temperaturu çıxırıq: mənfi beşdən mənfi iyirmini. Mənfi iyirminin əksi iyirmidir. Mənfi beş üstə gəl iyirmi, on beş edir. Cavab müsbətdir, deməli, temperatur on beş dərəcə artıb. Termometrdə də elədir: mənfi iyirmidən mənfi beşə qədər on beş bölgü yuxarı qalxırıq. Üçüncü fəsil: fərq və məsafə. Ədəd oxunda iki nöqtə götürək: biri mənfi ikidə, o biri mənfi altıda. Aralarında neçə vahid var? Mənfi altıdan mənfi ikiyə qədər sayırıq: dörd vahid. Bunu çıxma ilə də tapmaq olar. Mənfi ikidən mənfi altını çıxaq: mənfi iki üstə gəl altı, dörd edir. Bəs tərsinə çıxsaq? Mənfi altıdan mənfi ikini çıxanda mənfi dörd alınır. Məsafə isə mənfi ola bilməz. Ona görə fərqin modulunu götürürük: mənfi dördün modulu dörddür. Qayda belədir: ədəd oxunda iki nöqtə arasındakı məsafə, bu nöqtələrin koordinatları fərqinin moduluna bərabərdir. Hansını hansından çıxmağımız fərq etmir: modul cavabı mənfi olmağa qoymur. İndi dağa və dənizə qayıdaq. Düşərgə artı iki min metrdədir, sualtı qayıq isə mənfi beş yüz metrdə. Hündürlük fərqini tapmaq üçün iki mindən mənfi beş yüzü çıxırıq. Mənfi beş yüzün əksi beş yüzdür. İki min üstə gəl beş yüz, iki min beş yüz metr edir. Mənası da aydındır. Düşərgədən dəniz səviyyəsinə qədər iki min metr enirik, oradan sualtı qayığa qədər daha beş yüz metr. Min beş yüz deyənlər dərinliyin mənfi işarəsini unutmuşdular. Zaman oxu da belə işləyir. Dərsliyimizdəki zaman oxunda bizim eranın başlanğıcı sıfırdır. Eramızdan əvvəlki illər sıfırın solunda, mənfi ədədlər kimi durur, bizim eranın illəri isə sağında. Təsəvvür edək ki, bir qala eramızdan əvvəl otuzuncu ildə tikilib, bizim eranın yetmişinci ilində isə təmir olunub. Arada neçə il keçib? Yetmişdən mənfi otuzu çıxırıq: yetmiş üstə gəl otuz, yüz il edir. Dördüncü fəsil: uzun zəncirlər. Bəzən bir misalda bir neçə çıxma və toplama ardıcıl gəlir. Məsələn: mənfi ikidən üçü çıxırıq, sonra beşi çıxırıq, sonra üçü toplayırıq. Əvvəlcə hər çıxmanı əksinin toplanması ilə əvəz edirik. Onda hamısı toplama olur: mənfi iki, mənfi üç, mənfi beş və üç. Toplamada toplananların yerini dəyişmək olar. Mənfi üç ilə üç əks ədədlərdir, cəmləri sıfırdır, ona görə onları birlikdə kənara qoyuruq. Qalır mənfi iki və mənfi beş. Cəmləri mənfi yeddidir. Misalda mötərizə varsa, əvvəlcə mötərizənin içini hesablayırıq, sonra çıxmanı əksin toplanması ilə əvəz edirik. Belə etdikdə uzun zəncir bir neçə sakit addıma çevrilir. Gəlin hər şeyi bir yerə yığaq. Birincisi: çıxmaq, çıxılanın əksini toplamaqdır. İkincisi: mənfi ədədi çıxanda nəticə böyüyür, çünki əslində müsbət ədəd toplayırıq. Üçüncüsü: ədəd oxunda iki nöqtə arasındakı məsafə, fərqin moduludur. Dördüncüsü: uzun zəncirdə çıxmaları toplamaya çevirin və əks ədədləri cüt-cüt ayırın. İndi o qarlı dağı yenə xatırlayın. Düşərgə ilə sualtı qayıq arasında min beş yüz yox, iki min beş yüz metr var. Mənfi işarəsini unutmayan, min metri itirmir. Yadda saxlamalı bir fikir: çıxmaq, əksini toplamaqdır. Növbəti dərsdə isə tam ədədləri vurmağı və bölməyi öyrənəcəyik.