Xətti funksiya: işıq sönəndə yanan şamın düz xətti

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: payız axşamıdır, çöldə leysan yağır. Sən masa arxasında dərs oxuyursan. Birdən bütün evdə işıq sönür. Nənən qaranlıqda siyirməni açır. Oradan uzun, ağ bir şam çıxarır və kibrit çəkir. Şam yanır. Onun boyu düz iyirmi santimetrdir. Nənən deyir: «Bu şamlar hər saat iki santimetr qısalır, əvvəldən axıra qədər eyni cür.» Sən pəncərəyə baxırsan. Yağış kəsmir, işığın nə vaxt gələcəyini heç kim bilmir. Ağlına iki sual gəlir. Birincisi: bu şam neçə saat yanacaq? İkincisi daha maraqlıdır: şamın istənilən saatdakı boyunu bircə qısa qayda ilə demək olarmı? Dərsin sonunda görəcəksən ki, birinci sualın cavabı bir düz xəttin bir oxla görüşdüyü nöqtədə gizlənib. Salam! Bu gün xətti funksiyadan danışacağıq. Əvvəlcə şamın hekayəsini bir qaydaya çevirəcəyik və o qaydadakı iki ədədin adlarını öyrənəcəyik. Sonra bu qaydanın qrafikinin niyə həmişə düz xətt olduğunu eşidəcəksən. Ardınca xəttin absis oxu ilə hansı bucaq əmələ gətirdiyinə baxacağıq. Sonra qrafiki çəkmədən ona suallar verəcəyik. Ən sonda xəttin oxları harada kəsdiyini tapacağıq və şamın sualına qayıdacağıq. Gəl, əvvəlcə şamın boyunu saat-saat izləyək. Yandırdığımız anda boy iyirmi santimetrdir. Bir saat sonra şam iki santimetr qısalır və on səkkiz santimetr qalır. İki saat sonra on altı qalır. Üç saat sonra on dörd. Hər saat eyni şey olur: əvvəlki boydan düz iki santimetr gedir. Diqqət et: bu hekayəni iki ədəd idarə edir. Biri başlanğıcdır, yəni şamın ilk boyu, iyirmi. O biri hər saatkı dəyişmədir, mənfi iki. Mənfidir, çünki şam qısalır. İstənilən saatda boyu tapmaq üçün keçən saatların sayını mənfi ikiyə vur və nəticəyə iyirmi əlavə et. Məsələn, dörd saat sonra: dörd vur mənfi iki, mənfi səkkiz edir. Üstəgəl iyirmi, on iki santimetr qalır. Eyni axşam həyətdə başqa bir hekayə də gedir. Damın novundan yağış suyu bir çəlləyə axır. Çəlləyin dibində əvvəldən dörd santimetr su var idi. Yağış bərabər yağır və su hər saat üç santimetr qalxır. Yenə iki ədəd var: başlanğıc dörd, hər saatkı dəyişmə isə üstəgəl üç. Bu dəfə dəyişmə müsbətdir, çünki su çoxalır. Hər iki hekayə eyni qəlibə düşür. Bir kəmiyyət hər addımda eyni qədər dəyişir və onun bir başlanğıc qiyməti var. Riyaziyyatda belə asılılığa xətti funksiya deyilir. Onu belə yazırlar: igrek bərabərdir ka vur iks üstəgəl be. Dərslikdə ka hərfinin yerində a hərfini də görə bilərsən, mənası eynidir. Bu iki ədədin öz adları var. Ka, yəni iksə vurulan ədəd, bucaq əmsalıdır. Şamda o, mənfi ikidir, çəlləkdə isə üstəgəl üç. Be, yəni ayrıca duran ədəd, sərbəst əmsaldır. Şamda iyirmi, çəlləkdə dörd. İks burada keçən saatlardır, igrek isə həmin saatdakı boy, ya da suyun hündürlüyü. Bəs bucaq əmsalının adı haradan gəlir? Bunu bir azdan eşidəcəksən. İndi bu hekayəni təsəvvürdə bir şəklə çevirək. Bir koordinat müstəvisi düşün. Üfüqi ox, yəni absis oxu, saatları göstərir. Şaquli ox, yəni ordinat oxu, şamın boyunu göstərir. Hər saat üçün bir nöqtə qoyuruq: başlanğıcda iyirmi, bir saat sonra on səkkiz, iki saat sonra on altı. Bu nöqtələr necə düzülür? Şam hər saat düz iki santimetr qısaldığı üçün heç bir nöqtə yoldan çıxmır. Hamısı eyni xəttin üstünə düşür. Onları birləşdirsək, düz xətt alınır. Bu funksiyalara xətti deyilməsinin səbəbi də budur: xətti funksiyanın qrafiki həmişə düz xətdir. Bunun xoş bir nəticəsi var. Həndəsədə belə bir aksiom var: iki nöqtədən bir və yalnız bir düz xətt keçir. Deməli, xətti funksiyanın qrafikini qurmaq üçün uzun cədvələ ehtiyac yoxdur. İksin iki qiymətini götür və hər biri üçün igreki hesabla. İki nöqtəni qoy və xətkeşlə birləşdir. Qalan bütün nöqtələr öz-özünə həmin xəttin üstünə düşəcək. İndi söz verdiyim suala qayıdaq: iksə vurulan ədədə niyə bucaq əmsalı deyirlər? Xətti təsəvvür et və absis oxunun müsbət istiqamətinə bax, yəni sıfırdan sağa gedən hissəsinə. Xətt bu istiqamətlə bir bucaq əmələ gətirir. Bucaq əmsalı müsbət olanda bu bucaq itidir: iti bucaq düz bucaqdan kiçik olur. Bucaq əmsalı mənfi olanda isə bucaq kordur: kor bucaq düz bucaqdan böyük olur. Çəlləyin xəttində bucaq əmsalı üstəgəl üçdür, ona görə də bu xətt absis oxu ilə iti bucaq əmələ gətirir. Şamın xəttində bucaq əmsalı mənfi ikidir və bucaq kordur. Deməli, bucağın növünü bucaq əmsalının işarəsi müəyyən edir. Sərbəst əmsal isə bu bucağa təsir etmir. Bucağı soruşanda yalnız iksə vurulan ədədə bax. Bəs bucaq əmsalı sıfır olsa? Təsəvvür et ki, siyirmədə ikinci, yandırılmamış şam da var. Onun da boyu iyirmi santimetrdir və saatlar keçsə də dəyişmir. Hər saatkı dəyişmə sıfırdır. Onun qaydası belədir: igrek həmişə iyirmiyə bərabərdir. Buna sabit funksiya deyilir. Qrafiki ordinat oxunu iyirmidə kəsən və absis oxuna paralel olan düz xətdir. Bir çox şagird elə bilir ki, sabit funksiya xətti deyil. Əslində xəttidir, sadəcə bucaq əmsalı sıfırdır. Bir xüsusi hal da var: sərbəst əmsal sıfır olanda. Təsəvvür et ki, çəllək yağışdan əvvəl tamam boş idi. Bu halda suyun hündürlüyü sadəcə keçən saatların üç misli olardı. Başlanğıc sıfırdır, ona görə də qrafik koordinat başlanğıcından keçir. Bu, artıq tanıdığın düz mütənasib asılılıqdır. Belə xətti qurmaq üçün koordinat başlanğıcından başqa cəmi bir nöqtə bəs edir. İndi qrafiki heç çəkmədən ona suallar verək. Birinci sual: altı saat sonra şamdan on santimetr qalacaqmı? Başqa sözlə, absisi altı, ordinatı on olan nöqtə şamın xəttinin üzərindədirmi? Yoxlamaq üçün altını iksin yerinə qoyuruq. Altı vur mənfi iki, mənfi on iki edir. Üstəgəl iyirmi, səkkiz alınır. Səkkiz on deyil. Deməli, bu nöqtə xəttin üzərində deyil. Altı saat sonra şamdan on yox, səkkiz santimetr qalacaq. Burada bir tələyə fikir ver. Altı saatdır, ona görə iksin yerinə gedir. On santimetr isə boydur, igrekin yerinə gedir. Ədədlərin yerini dəyişsən, tamam başqa nöqtəni yoxlamış olarsan. Həm də yalnız bir koordinata baxmaq bəs etmir. Nöqtə yalnız o zaman xəttin üzərindədir ki, onun iksini qaydaya qoyanda düz onun igreki alınsın. İkinci sual tərsinədir: şamın boyu nə vaxt dörd santimetr olacaq? İndi igrek məlumdur, iks isə naməlumdur. Qayda belə deyir: mənfi iki vur iks üstəgəl iyirmi bərabərdir dörd. Hər iki tərəfdən iyirmi çıxırıq: mənfi iki vur iks bərabərdir mənfi on altı. Hər iki tərəfi mənfi ikiyə bölürük: iks səkkizdir. Deməli, səkkiz saat sonra. Burada da tələ var: dördü iksin yerinə qoymaq olmaz, çünki dörd burada saat deyil, boydur. Üçüncü sual ən maraqlısıdır. Qonşu da şam yandırıb. Onun şamı da iyirmi santimetrdən başlayıb, amma daha qalındır. Dörd saat sonra qonşu deyir ki, şamından on altı santimetr qalıb. Onun şamı saatda nə qədər qısalır? Qayda eynidir və sərbəst əmsal iyirmidir. Yalnız bucaq əmsalı məlum deyil. Məlum nöqtəni qaydaya qoyuruq: dördü iksin yerinə, on altını igrekin yerinə. Ka vur dörd üstəgəl iyirmi on altıya bərabərdir. Hər iki tərəfdən iyirmi çıxırıq: ka vur dörd mənfi dördə bərabərdir. Deməli, ka mənfi birdir. Qonşunun şamı saatda bir santimetr qısalır. Tələsik biri on altını dördə bölüb dörd deyər, amma o, başlanğıcdakı iyirmini unudub. Eyni yolla, bucaq əmsalı məlum olanda bir nöqtədən sərbəst əmsalı da tapmaq olar. İndi son addıma gəldik: xəttin oxlarla görüşdüyü nöqtələr. Əvvəlcə ordinat oxu. Bu oxun üzərindəki bütün nöqtələrdə iks sıfırdır. İks sıfır olanda iksli hissə yox olur və yalnız sərbəst əmsal qalır. Ona görə də xətt ordinat oxunu həmişə sərbəst əmsalın göstərdiyi yerdə kəsir. Şamın xətti iyirmidə, çəlləyin xətti dörddə. Sərbəst əmsal hekayənin başlanğıcıdır. Bundan qrafikə baxıb işarələri oxumaq da asanlaşır. Xətt ordinat oxunu sıfırdan yuxarıda kəsirsə, sərbəst əmsal müsbətdir, aşağıda kəsirsə, mənfidir. Bucaq itidirsə, bucaq əmsalı müsbətdir, kordursa, mənfidir. Sərbəst əmsalı ordinat oxunda axtar, absis oxunda yox. Bu, ən çox edilən səhvlərdən biridir. İndi absis oxu. Onun üzərindəki nöqtələrdə igrek sıfırdır. Şam üçün igrek sıfır nə deməkdir? Şamdan heç nə qalmayıb. Yəni absis oxundakı nöqtə hekayənin sonudur. Onu tapmaq üçün igreki sıfıra bərabər edib iksi axtarırıq. Mənfi iki vur iks üstəgəl iyirmi sıfır olmalıdır. Deməli, iki vur iks iyirmiyə bərabərdir, iks isə ondur. İndi qaranlıq otağa qayıdaq. Şamın xətti absis oxunu on saatda kəsir. Deməli, nənənin şamı düz on saat yanacaq. Əlbəttə, on saatdan sonra şam mənfi boyda olmur: hekayə orada bitir, xəttin özü isə davam edir. İkinci sualın cavabı da hazırdır. Şamın istənilən saatdakı boyunu bir qayda deyir: saatları mənfi ikiyə vur və iyirmi əlavə et. Bu, bucaq əmsalı mənfi iki, sərbəst əmsalı iyirmi olan xətti funksiyadır. Elə bu an işıqlar yanır. Nənən gülümsəyir və şamı söndürür. Bu dərsdən bir fikri götür: hər addımda eyni qədər dəyişən və bir başlanğıcdan çıxan hər hekayə xətti funksiyadır. Başlanğıc sərbəst əmsaldır və xətt ordinat oxunu elə orada kəsir. Hər addımdakı dəyişmə bucaq əmsalıdır və onun işarəsi bucağın iti, yoxsa kor olduğunu deyir. Qrafik isə həmişə düz xətdir və onu qurmaq üçün iki nöqtə bəs edir. Qrafik qurmağı, cədvəlləri və daha çox misalı oxu dərsində tapacaqsan. Hər cavabı nöqtəni qaydaya qoyaraq yoxlamağı unutma. Dinlədiyin üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!