Sistem qurmaqla məsələ həlli

• 2.44
• 7-ci sinif
• Tənliklər sistemi

Sistem qurmaqla məsələ həlli

Gölməçədə 12 qayıq və cəmi 34 yer var. Neçə qayıq ikiyerli, neçəsi dördyerlidir? Mətnin hər şərti bir tənlikdir: iki şərt — iki tənlik, sistemin kökü isə cavabdır.

Bu dərsdə

• axtarılanları hərflərlə işarə edib məsələnin hər şərtini tənliyə çevirəcəksən;
• qurduğun sistemi qısa olan üsulla — əvəzetmə və ya toplama ilə — həll edəcəksən;
• cavabı hər iki şərtlə yoxlayıb sözlə və vahidlə yazacaqsan.

Qayıqlar haqqında iki şərt iki tənliyə çevrilir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Beş addım
3. Tərcümə lüğəti
4. Hesabla
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

İki naməlum, iki şərt

Gölməçədəki 12 qayığın bir qismi ikiyerli, qalanı dördyerlidir. Bütün qayıqlarda cəmi 34 yer var. Hər növdən neçə qayıq var?

Axtarılan iki ədəddir, ona görə iki hərf götürürük: x — ikiyerli qayıqların sayı, y — dördyerli qayıqların sayı. Birinci şərt — «12 qayıq» — bir tənlik verir: x + y = 12. Amma bu tənliyi çox cüt ödəyir. Hər cütdə yerləri sayaq:

Hamısında 12 qayıq var — bəs yer neçədir?

Hər dəfə bir ikiyerli qayığı dördyerli ilə əvəz edəndə yer 2 artır. İkinci şərt — «34 yer» — bütün cütlərdən yalnız birini saxlayır. Bu şərt də tənlikdir: 2x + 4y = 34.

Cədvəl qurmaq uzundur. İki tənliyi birlikdə yazsaq, cavabı sistemin həlli verir:

x + y = 122x + 4y = 34

x = 12 − y, 2(12 − y) + 4y = 34, 24 + 2y = 34, y = 5, x = 7.

Kök (7; 5)-dir: 7 ikiyerli və 5 dördyerli qayıq. Yoxlama: 7 + 5 = 12 və 2 · 7 + 4 · 5 = 14 + 20 = 34.

Deməli, iki naməlum üçün iki şərt lazımdır: hər şərt bir tənlik verir, iki tənlik birlikdə sistem olur.

2 · Qayda

Məsələdən sistemə: beş addım

Yadda saxla

Məsələnin şərti təhlil edilir, verilənlər və axtarılanlar müəyyən olunur. Axtarılanlar hərflərlə işarə edilir və şərtə uyğun tənliklər qurulur.

1. Şərti oxu: nə verilib, nə axtarılır?
2. Axtarılanları hərflə işarə et — mənası və vahidi ilə: «x — bir dəftərin qiyməti (qəpik)».
3. Hər şərti bir tənliyə çevir; iki tənlik sistem əmələ gətirir.
4. Sistemi hər hansı üsulla həll et — qısa olanı seç.
5. Cütün hər iki şərti ödədiyini yoxla, cavabı sözlə və vahidlə yaz.

Dördüncü addımda üsulu sistemin özü göstərir:

Əvəzetmə üsulu

x + 4y = 34

Bir dəyişənin əmsalı 1-dirsə, onu ifadə et: x = 34 − 4y.

Toplama üsulu

2x … və 3x …

Əmsallar bərabər, əks və ya asanca bərabərləşirsə, tənlikləri vurub tərəf-tərəfə topla.

3 · Tərcümə lüğəti

Söz necə tənliyə çevrilir?

Ən çətin addım üçüncüdür: mətnin dilindən riyaziyyatın dilinə tərcümə. Tez-tez rast gələn ifadələr belə yazılır (x və y — axtarılan iki kəmiyyət):

Mətndə deyilir → tənlikdə yazılır

«… dəfə çox» vurmadır, «… çox» toplama. Verəndə bir tərəf azalır, o biri artır; il keçəndə isə hər iki yaş eyni qədər dəyişir.

4 · Hesabla

Üç məsələ, beş addım

Nümunə 1Alış: əvəzetmə qısadır

Rəssamlıq dərnəyi üçün 3 fırça dəsti və 2 rəng qutusu 42 manata, 1 fırça dəsti və 4 rəng qutusu isə 34 manata alındı. Bir fırça dəsti və bir rəng qutusu neçə manatdır?

1. İşarə etbir fırça dəsti — x manat, bir rəng qutusu — y manat x, y
2. 1-ci şərt3 fırça dəsti və 2 rəng qutusu — 42 manat 3x + 2y = 42
3. 2-ci şərt1 fırça dəsti və 4 rəng qutusu — 34 manat x + 4y = 34
4. Sistemiki tənlik birlikdə 3x + 2y = 42x + 4y = 34

Başla Yenidən Yenidən

1. İkinci tənlikdə x-in əmsalı 1-dir, ona görə əvəzetmə qısadır: x = 34 − 4y.
2. Birinci tənlikdə yerinə yazırıq: 3(34 − 4y) + 2y = 42, 102 − 12y + 2y = 42, −10y = −60, y = 6.
3. x = 34 − 4 · 6 = 10. Kök: (10; 6).
4. Yoxlama: 3 · 10 + 2 · 6 = 42 ✓, 10 + 4 · 6 = 34 ✓. Bir fırça dəsti 10 manat, bir rəng qutusu 6 manatdır.

Nümunə 2Vahidlər və toplama üsulu

2 böyük və 3 kiçik termosa 4 l 500 ml çay, 3 böyük və 2 kiçik termosa isə 5 l 500 ml çay sığır. Hər termosun tutumu nə qədərdir?

1. Vahidləri bərabərləşdiririk: 4 l 500 ml = 4500 ml, 5 l 500 ml = 5500 ml. x — böyük termosun tutumu (ml), y — kiçik termosun tutumu (ml).
2. Heç bir əmsal 1 deyil — əvəzetmə kəsr verərdi. Toplama üsulunu seçirik: x-in əmsallarını əks edirik. 2x + 3y = 4500| · 33x + 2y = 5500| · (−2)6x + 9y = 13500−6x − 4y = −11000
3. Tərəf-tərəfə toplayırıq: 5y = 2500, y = 500.
4. Birinci tənlikdən: 2x + 1500 = 4500, 2x = 3000, x = 1500.
5. Yoxlama: 3000 + 1500 = 4500 ✓, 4500 + 1000 = 5500 ✓. Böyük termos 1 l 500 ml, kiçik termos 500 ml çay tutur.

Nümunə 3«Dəfə çox» və «çox» bir məsələdə

Bağda gilas ağacları ərik ağaclarından 4 dəfə çoxdur, həm də 27 ədəd çoxdur. Bağda neçə gilas və neçə ərik ağacı var?

1. x — gilas ağaclarının sayı, y — ərik ağaclarının sayı.
2. «4 dəfə çoxdur» → x = 4y; «27 ədəd çoxdur» → x − y = 27.
3. x artıq ifadə olunub — əvəzetmə: 4y − y = 27, 3y = 27, y = 9; x = 4 · 9 = 36.
4. Yoxlama: 36 = 4 · 9 ✓, 36 − 9 = 27 ✓. Bağda 36 gilas və 9 ərik ağacı var.

5 · Diqqət

İki tipik səhv

Birinci səhv tərcümədə olur: «x, y-dən 4 dəfə çoxdur» cümləsində 4 rəqəmi x-in yanında yazıldığı üçün çoxları onu x-ə vurur.

Tərs yazılış

4x = y

Nümunə 3-də belə yazsaq, x − 4x = 27, x = −9 alınır. Ağacların sayı mənfi ola bilməz — hekayə ilə yoxlama səhvi göstərir.

Kiçik olanı vur

x = 4y

Gilas ağacları çoxdur, onlara bərabər olmaq üçün ərik ağaclarının sayını 4-ə vururuq. Sınaq: y = 2 olsa, x = 8 — doğrudan 4 dəfə çox.

İkinci səhv yoxlamada olur: cütü yalnız bir şərtlə yoxlamaq. Qayıq məsələsində (6; 6) cütü birinci şərti ödəyir, amma ikincini yox.

Bir şərtlə yoxlama

(6; 6)

6 + 6 = 12 doğrudur, amma 2 · 6 + 4 · 6 = 36 ≠ 34. Bu cüt sistemin kökü deyil.

Hər iki şərt

(7; 5)

7 + 5 = 12 və 14 + 20 = 34. Ədədlər həm də tam və müsbətdir — qayıqların sayı belə olmalıdır.

6 · Həyatda

Taksinin tarifini iki qəbzdən tap

Taksi gedişinin haqqı iki hissədən ibarətdir: sabit minik haqqı və hər kilometr üçün eyni məbləğ. Nərmin 4 km yol üçün 6 manat, başqa gün 10 km yol üçün 12 manat ödədi. Tarifi və 15 km yolun haqqını tapaq.

İki gedişin haqqı zolaqlarla

Hər iki gedişdə minik haqqı a eynidir. Fərq yalnız əlavə 6 km-dədir: 6b = 12 − 6.

a — minik haqqı (manat), b — 1 km-in haqqı (manat). İki qəbz iki şərtdir:

a + 4b = 6| · (−1)a + 10b = 12

Tərəf-tərəfə toplayırıq: 6b = 6, b = 1; onda a = 6 − 4 = 2. Yoxlama: 2 + 10 · 1 = 12 ✓.

Tarif: minik haqqı 2 manat, hər kilometr 1 manat. 15 km yol: 2 + 15 · 1 = 17 manat.

15 km yol 17 manat edər.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Sinifdə 28 şagird var, qızlar oğlanlardan 4 nəfər çoxdur. x — qızların, y — oğlanların sayıdır. Hansı sistem uyğundur? Cavab variantları x + y = 28 və x = 4y x + y = 28 və x − y = 4 x − y = 28 və x + y = 4 x + y = 28 və y − x = 4 Düzdür! «Cəmi 28» — cəm, «4 nəfər çox» — fərq, çox olan isə qızlardır. Yox. «4 nəfər çox» fərqdir, «dəfə» deyil; böyük ədəddən kiçiyi çıx: qızlar çoxdur. Həllə bax x + y = 28 və x − y = 4. Toplasaq 2x = 32, x = 16, y = 12: 16 qız, 12 oğlan. Yoxlama: 16 + 12 = 28, 16 − 12 = 4.
2. Asan Kassada 5 manatlıq və 10 manatlıq əskinaslar var: cəmi 14 əskinas, 95 manat. x — 5 manatlıqların, y — 10 manatlıqların sayıdır. Hansı cüt hər iki şərti ödəyir? Cavab variantları (5; 9) (7; 7) (9; 5) (11; 4) Düzdür! 9 + 5 = 14 və 45 + 50 = 95. Yox. Hər iki şərti yoxla: x + y = 14 və 5x + 10y = 95 olmalıdır. Həllə bax (9; 5): 9 + 5 = 14, 5 · 9 + 10 · 5 = 95. (5; 9) 115 manat, (7; 7) 105 manat verir, (11; 4) isə 15 əskinasdır — hər biri yalnız bir şərti ödəyir.
3. Orta İki ədədin cəmi 50-dir, biri o birindən 4 dəfə böyükdür. Böyük ədəd neçədir? Cavab variantları 10 27 40 46 Düzdür! x = 4y, x + y = 50 → y = 10, x = 40. Yox. «4 dəfə böyük» vurmadır: x = 4y. Sonra x + y = 50 tənliyində yerinə yaz və böyük ədədi cavab ver. Həllə bax x = 4y, x + y = 50 → 5y = 50, y = 10, x = 40. Yoxlama: 40 + 10 = 50, 40 = 4 · 10. 27 «4 vahid böyük» oxunuşudur, 10 isə kiçik ədəddir.
4. Çətin 3 qələm və 2 pozan 2 manat 10 qəpik, 2 qələm və 3 pozan isə 1 manat 90 qəpikdir. Bir qələm neçə qəpikdir? Cavab variantları 30 qəpik 50 qəpik 70 qəpik 80 qəpik Düzdür! Qələm 50 qəpik, pozan 30 qəpik. Yox. Əvvəl hər şeyi qəpiklə yaz, sistemi həll et və soruşulan naməlumu cavab ver. Həllə bax Qəpiklə: 3x + 2y = 210, 2x + 3y = 190. Toplasaq 5x + 5y = 400, x + y = 80; çıxsaq x − y = 20. Deməli x = 50, y = 30. Yoxlama: 150 + 60 = 210, 100 + 90 = 190. 30 — pozanın qiyməti, 80 — x + y-dir.
5. Çətin x — 3 kq-lıq, y — 5 kq-lıq qutuların sayıdır. x + y = 20 və 3x + 5y = 80 sisteminə hansı şərt uyğundur? Cavab variantları 3 kq-lıq qutular 5 kq-lıqlardan 20 ədəd çoxdur, hamısı 80 kq-dır. Cəmi 20 qutu var, hamısının kütləsi 80 kq-dır. Cəmi 80 qutu var, hamısının kütləsi 20 kq-dır. Cəmi 20 qutu var, 3 kq-lıqların kütləsi 5 kq-lıqlarınkından 80 kq çoxdur. Düzdür! x + y — qutuların sayı, 3x + 5y — onların ümumi kütləsi. Yox. Hər tənliyi geri tərcümə et: x + y nəyin sayıdır, 3x + 5y nəyin kütləsidir? Həllə bax x + y = 20 — qutuların ümumi sayı, 3x + 5y = 80 — ümumi kütlə. Kök (10; 10): 10 qutu 3 kq-lıq, 10 qutu 5 kq-lıq; 30 + 50 = 80.

Xülasə

Yadda qalanlar

• 2 naməlum → 2 şərt → 2 tənlikHər hərfin mənasını və vahidini yaz; hər şərtdən bir tənlik qur.
• Qısa üsulu seçƏmsalı 1 olan dəyişən varsa — əvəzetmə; əmsallar bərabər və ya əks olursa — toplama.
• Hekayə ilə yoxlaCüt hər iki şərti ödəməli, say tam və müsbət olmalıdır; cavabı sözlə və vahidlə yaz.

Növbəti mövzu: 2.45 Konqruyent üçbucaqlar

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, «8.5. İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli», səh. 180–184. Məsələlərdəki hekayələr və ədədlər bu dərs üçün seçilib.