Həqiqi kökü olmayan tənlik

1 · Əsas fikir

Kök yalnız t ≥ 0-dan gəlir

Əsas fikir

Tənlikdə eyni ifadə bir neçə dəfə təkrarlanırsa, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik — dərslikdə: «yeni dəyişən daxil etməklə tənliyi həll edin». Plan:

1. Əvəzləmə: təkrarlanan ifadə = t.
2. t-yə görə kvadrat tənliyi həll edirik: t₁, t₂.
3. «Əvəzləməni nəzərə alırıq»: hər t üçün x-i tapırıq.
4. «x-in qiymətlərini ilkin tənlikdə yerinə yazmaqla həllin doğruluğunu yoxlayırıq.»

x², kök altında x və |x| mənfi ola bilməz. Ona görə t = x², t = kök altında x və t = |x| əvəzləmələrində yalnız t ≥ 0 olan qiymətlər kök verir; mənfi t rədd edilir.

Deməli, belə tənliyin həqiqi kökü yalnız t-yə görə kvadrat tənliyin mənfi olmayan kökü olanda var. t-nin hər iki qiyməti mənfidirsə (və ya t-yə görə tənliyin kökü yoxdursa), tənliyin həqiqi kökü yoxdur.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqHəqiqi kökü olmayan tənlik

Hansı tənliyin həqiqi kökü yoxdur?

1. Hər tənlikdə əvəzləmə t ≥ 0 tələb edir (t = x², t = √x, t = |x|). Ona görə hər tənlik üçün t-ləri tapıb işarəsinə baxırıq.
2. x⁴ + 3x² + 2 = 0: x² = t, t² + 3t + 2 = 0 → (t + 1)(t + 2) = 0 → t = −1, t = −2.
3. Hər iki t mənfidir, x² isə mənfi ola bilməz. Bu tənliyin həqiqi kökü yoxdur.
4. Qalan dörd tənlikdə ən azı bir müsbət t var (aşağıda), ona görə onların kökləri var.
5. Cavab: x⁴ + 3x² + 2 = 0

x⁴ + 3x² + 2 = 0 üçün t-nin ədəd oxu: t = −1 və t = −2 hər ikisi t ≥ 0 zolağından kənardadır

x⁴ + 3x² + 2 = 0 tənliyində hər iki t mənfidir: mavi zolağa (t ≥ 0) heç biri düşmür, kök yoxdur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Başqa yolla: x⁴ ≥ 0 və 3x² ≥ 0, ona görə x⁴ + 3x² + 2 ≥ 2 > 0 — sol tərəf heç vaxt sıfır olmur ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• x⁴ − 3x² + 2 = 0x² = t: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1, t = 2; hər ikisi müsbətdir. Kökləri: ±1 və ±√2.
• x⁴ + x² − 2 = 0t² + t − 2 = 0 → t = 1, t = −2. t = −2 rədd edilir, amma t = 1 uyğundur: x = ±1. Yoxlama: 1 + 1 − 2 = 0.
• x + 2√x − 3 = 0kök altında x = t: t² + 2t − 3 = 0 → t = 1, t = −3. kök altında x = 1 → x = 1. Yoxlama: 1 + 2 − 3 = 0.
• x² + |x| − 2 = 0|x| = t: t² + t − 2 = 0 → t = 1, t = −2. |x| = 1 → x = ±1. Yoxlama: 1 + 1 − 2 = 0.