Sistemin qrafik üsulla həlli: alma bağında iki yolun görüş yeri

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: yay günortasıdır, sən nənənin alma bağındasan. Bu bağda ağaclar çox səliqəli əkilib: düz sıralarla, dəftər vərəqindəki damalar kimi, hər iki qonşu ağacın arası eynidir. Bağın cənub-qərb küncündə darvaza var. Bağda istənilən yeri darvazadan necə gedəcəyinlə demək olur: əvvəl şərqə neçə ağac keçirsən, sonra şimala neçə ağac keçirsən. Deməli, bu bağda hər yerin ünvanı iki saydır. Günay bağın qərb hasarının yanında, quyunun başında dayanıb. Darvazadan hasar boyunca düz şimala altı ağac keçsən, quyuya çatırsan. Ramil də həmin hasarın yanında, skamyada oturub. Skamya darvazadan şimala cəmi iki ağac aralıdadır. Nənə onları çaya çağırır və belə tapşırıq verir. Günay, sən quyudan düz cənub hasarındakı qoz ağacına doğru get. Qoz ağacı darvazadan şərqə altı ağac aralıdadır. Ramil, sən isə skamyadan çəpəki get: hər dəfə bir ağac şərqə keçəndə, bir ağac da şimala qalx. Sonra nənə damalı kağıza çəkdiyi bağ planını açır, ona bir az baxır və gülümsəyir. Deyir: siz şərqə iki, şimala dörd ağac aralıdakı alma ağacının altında görüşəcəksiniz. Çayı da ora gətirirəm. Uşaqlar yola düşür. Və doğrudan da, Günay öz yolu ilə, Ramil öz yolu ilə gedib düz həmin ağacın altında rastlaşırlar. Nənə də əlində çaynik oraya çatır. İndi iki sual. Birinci sual: uşaqlar hələ bir addım da atmamışdı, nənə görüş yerini necə bildi? İkinci sual: belə plana həmişə inanmaq olarmı? İkinci sualın cavabı sənin üçün bir az sürpriz olacaq. Salam! Bu gün ikidəyişənli xətti tənliklər sisteminin qrafik üsulla həllindən danışacağıq. Əvvəlcə nənənin planını riyaziyyat dilinə çevirəcəyik, sonra görüş yerinin nə demək olduğunu anlayacağıq. Sonra iki düz yolun üç mümkün halına baxacağıq. Ən sonda isə planın nə vaxt yanıldığını öyrənəcəyik. Gəl, əvvəlcə nənənin planına riyaziyyatçı gözü ilə baxaq. Darvaza koordinat başlanğıcıdır. Cənub hasarı boyunca şərqə uzanan xətt absis oxudur, qərb hasarı boyunca şimala uzanan xətt isə ordinat oxudur. Hər yerin iki sayı onun koordinatlarıdır. Birinci say şərqə neçə ağac olduğunu deyir, bu, iksdir. İkinci say şimala neçə ağac olduğunu deyir, bu, igrekdir. Sıra vacibdir: həmişə əvvəl iks, sonra igrek. Bir şeyi də unutma: bağ koordinat müstəvisinin yalnız kiçik bir küncüdür, müstəvi isə hər tərəfə sonsuz uzanır. İndi Günayın yoluna baxaq. O, quyudan çıxır, quyunun ünvanı şərqə sıfır, şimala altıdır. Günay hər dəfə bir ağac şərqə keçəndə, bir ağac cənuba enir. Yolunun üstündəki yerləri sayaq: şərqə bir, şimala beş. Şərqə iki, şimala dörd. Şərqə üç, şimala üç. Nə görürsən? İki sayın cəmi həmişə altıdır. Bu, bir tənlikdir: iks üstəgəl igrek bərabərdir altı. Keçən dərslərdən bilirsən ki, ikidəyişənli xətti tənliyin qrafiki düz xətdir və bu xəttin hər nöqtəsi tənliyin köküdür. Günayın yolu elə bu düz xətdir. Ramilin yolu başqa qayda ilə gedir. O, skamyadan çıxır, skamyanın ünvanı şərqə sıfır, şimala ikidir. Ramil hər dəfə bir ağac şərqə keçəndə, bir ağac da şimala qalxır. Yolunun yerləri belədir: şərqə bir, şimala üç. Şərqə iki, şimala dörd. Şərqə üç, şimala beş. Burada qayda belədir: şimal sayı həmişə şərq sayından iki vahid çoxdur. Bu da ikidəyişənli xətti tənlikdir və onun da qrafiki düz xətdir. Bəs nənə bu xətləri planına necə çəkdi? Düz xətt çəkmək üçün iki nöqtə kifayətdir. Günayın xətti üçün quyu və qoz ağacı bəs edir. Bunlar xəttin oxlarla kəsişdiyi nöqtələrdir: quyu ordinat oxunun üstündədir, qoz ağacı isə absis oxunun üstündə. Nənə bu iki nöqtəni xətkeşlə birləşdirdi. Ramilin xətti üçün də skamya və onun yolundakı istənilən bir ağac kifayətdir. İndi əsas suala keçək: görüş yeri nə deməkdir? Uşaqların görüşdüyü ağac həm Günayın yolunun üstündədir, həm də Ramilin yolunun üstündə. Burada söhbət vaxtdan yox, yerdən gedir. Deməli, o yerin iki sayı hər iki qaydanı birdən ödəməlidir. İki tənliyi birlikdə yazanda tənliklər sistemi alınır. Sistemin kökü isə hər iki tənliyi ödəyən ədədlər cütüdür. Görüş yeri elə sistemin köküdür. Nənənin etdiyi işin adı qrafik üsuldur. Sistemin hər tənliyinin qrafikini eyni planda çəkirsən. Xətlərin kəsişdiyi nöqtəni tapırsan. Bu nöqtənin koordinatları sistemin köküdür. Nənənin planında iki xətt şərqə iki, şimala dörd olan nöqtədə kəsişir. Yoxlayaq. İki ilə dördün cəmi altıdır, Günayın qaydası ödənir. Dörd isə ikidən iki vahid çoxdur, Ramilin qaydası da ödənir. Deməli, sistemin kökü iki və dörd cütüdür: iks ikiyə, igrek dördə bərabərdir. Burada iki tələ var. Birinci tələ: cütün sırasını dəyişmək. Tutaq ki, kimsə şərqə dörd, şimala iki olan ağaca gedir. Bu ağac Günayın yolundadır, çünki dörd üstəgəl iki də altıdır. Amma Ramilin yolunda deyil. Ramil şərqə dörd ağac keçəndə onun şimal sayı altı olur, iki yox. Deməli, dörd və iki cütü sistemin kökü deyil. Sıranı qoru: əvvəl iks, sonra igrek. İkinci tələ: xəttin oxla kəsişmə nöqtəsini kök saymaq. Quyu Günayın xəttinin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsidir, onun ünvanı şərqə sıfır, şimala altıdır. Amma Ramilin yolu qərb hasarını quyuda yox, skamyada keçir. Quyu yalnız bir xəttin nöqtəsidir, ona görə yalnız bir tənliyi ödəyir. Sistemin kökü isə hər iki tənliyi ödəməlidir. Ona görə qrafikdən oxuduğun cütü həmişə hər iki tənlikdə yoxla. Beləliklə, birinci sualın cavabı hazırdır. Nənə sehrbaz deyil. O, planda iki yolu iki düz xətt kimi çəkdi və onların kəsişdiyi nöqtəyə baxdı. Bu, ikidəyişənli xətti tənliklər sistemini qrafik üsulla həll etməkdir. İndi gəl düşünək: iki düz yol mütləq görüşməlidirmi? İki düz xəttin bir-birinə nəzərən üç vəziyyəti ola bilər. Hər vəziyyət sistemin neçə kökü olduğunu deyir. Birinci hal elə indicə gördüyümüzdür: xətlər kəsişir. Kəsişmə nöqtəsi bircədir, ona görə sistemin bir kökü var. İkinci hal. Ramilin dostu Səid darvazadan çıxır və Ramil kimi gedir: hər dəfə bir ağac şərqə, bir ağac da şimala. Onlar eyni addımla gedirlər, amma Ramil həmişə Səiddən iki ağac şimaldadır. Nə qədər getsələr də, bu fərq dəyişmir və onlar heç vaxt görüşmürlər. Bu iki xətt paraleldir. Eyni addım, keçən dərslərdən bildiyin kimi, eyni bucaq əmsalı deməkdir, başlanğıc nöqtələri isə fərqlidir. Paralel xətlərin ortaq nöqtəsi yoxdur, ona görə belə sistemin kökü yoxdur. Üçüncü hal. Nənə Günayın yolunu dəftərinə başqa cür yazıb: şərq sayının iki misli üstəgəl şimal sayının iki misli on ikiyə bərabərdir. İlk baxışda bu, yeni qaydadır. Amma hər şeyi ikiyə bölsən, yenə köhnə qayda alınır: cəm altıdır. Deməli, bu, eyni xətdir, sadəcə ikinci dəfə çəkilib. Xətlər üst-üstə düşür, onların hər nöqtəsi ortaqdır. Belə sistemin sonsuz sayda kökü var. Buradan bir dərs çıxır: fərqli görünən iki tənlik həmişə fərqli xətt demək deyil. Bəs iki düz yol düz iki yerdə görüşə bilərmi? Xeyr. İki nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir. İki xəttin iki ortaq nöqtəsi olsaydı, onlar eyni xətt olardı. Deməli, sistemin ya bir kökü var, ya kökü yoxdur, ya da sonsuz sayda kökü var. Düz iki kökü olmur. İndi söz verdiyim sürprizə gələk. Ertəsi gün uşaqlar oyunu təkrar etmək istəyir. Bu dəfə Günay qərb hasarında, darvazadan şimala beş ağac aralıdakı yerdən çıxır. O, cənub hasarında, darvazadan şərqə beş ağac aralıdakı yerə gedir. Onun yolunda iki sayın cəmi həmişə beşdir. Ramil isə darvazanın özündən çıxır və daha dik qalxır: hər dəfə bir ağac şərqə keçəndə, iki ağac şimala qalxır. Nənə yenə planı açır və iki xətti çəkir. Kəsişmə şərqə iki, şimala üç olan ağacın yanında görünür. Nənə çayı o ağacın altına aparır. Amma uşaqlar ora gəlmir. Onlar bir az tez, iki ağacın arasındakı boş yerdə görüşürlər. Gəl yoxlayaq. İki üstəgəl üç beşdir, deməli, bu ağac Günayın yolundadır. Bəs Ramil? O, şərqə iki ağac keçəndə onun şimal sayı dörd olur, üç yox. Deməli, iki və üç cütü sistemin kökü deyil. Həqiqi görüş yeri ağacların arasındadır: şərqə birinci ilə ikinci ağac arasında, şimala üçüncü ilə dördüncü ağac arasında. Xətlər damanın küncündə yox, damanın içində kəsişib. Dərslik də bu barədə xəbərdarlıq edir: qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını dəqiq tapmaq çox vaxt çətindir, ona görə qrafik üsul həmişə əlverişli deyil, bəzən çətinlik yaradır. Qrafik sənə kökün olub-olmadığını və təxminən harada olduğunu göstərir. Amma qrafikdən oxuduğun cüt hər iki tənlikdə yoxlanana qədər sadəcə təxmindir. Kökü hesablamaqla dəqiq tapmağın yollarını növbəti dərslərdə öyrənəcəksən. İndi yenidən bağa, nənənin çay süfrəsinə qayıdaq. Birinci sualın cavabı: nənə iki yolu iki düz xətt kimi çəkdi və onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını oxudu. İkinci sualın cavabı: kəsişmə nöqtəsi damanın küncünə düşəndə plan dəqiq deyir. Kəsişmə damanın içinə düşəndə isə plan yalnız təxmini yeri göstərir, cavabı yoxlamaq lazımdır. Xülasə edək. Xətlər kəsişirsə, sistemin bir kökü var və bu kök kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarıdır. Xətlər paraleldirsə, sistemin kökü yoxdur. Xətlər üst-üstə düşürsə, sistemin sonsuz sayda kökü var. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla: sistemin kökü iki yolun görüş yeridir, yəni hər iki xəttin üstündə olan nöqtədir. Qrafik onu göstərir, yoxlama isə təsdiq edir. Oxu dərsində xətləri damalı kağızda özün çəkəcək və kəsişmə nöqtələrini oxuyacaqsan. Növbəti dəfə iki düz xətt görəndə, onların görüş yerini axtar. Səni növbəti dərsdə gözləyirəm. Sağ ol!