Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması

• 2.26
• 7-ci sinif
• Çoxhədlilər

Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması

x2 + 5x + 6 — bir böyük kvadrat, beş zolaq və altı kiçik kvadratdır. Onlardan düzbucaqlı qurmaq olarmı? Olar: tərəfləri x + 2 və x + 3 olur. Sahəni tərəflərin hasili kimi yazmaq — çoxhədlini vuruqlara ayırmaqdır.

Bu dərsdə

• vuruqlara ayırmanın nə olduğunu və nəticəni vurma ilə necə yoxlamağı izah edəcəksən;
• ortaq vuruğu çıxarma, qruplaşdırma və orta həddi ayırma üsullarını tətbiq edəcəksən;
• vuruqlara ayırma ilə ağılda hesablayacaq, ifadənin qiymətini tapacaq və tənlik həll edəcəksən.

x² + 5x + 6 düzbucaqlı kimi: tərəfləri x + 2 və x + 3

Başla Yenidən Yenidən

1. Vurmanın tərsi
2. Tərif və ƏBOB
3. Ortaq vuruq
4. Qruplaşdırma
5. Orta hədd
6. Diqqət
7. Tətbiq
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Vurmanı tərsinə oxu

Birhədlini çoxhədliyə vurmağı artıq bilirsən: 3x(x + 4) = 3x2 + 12x. Bu bərabərliyi düzbucaqlı ilə göstərək: hündürlüyü 3x, eni x + 4 olsun. Sahə iki hissədən ibarətdir: 3x · x = 3x2 və 3x · 4 = 12x.

3x(x + 4) düzbucaqlının sahəsi kimi

Hər iki hissənin hündürlüyü eynidir — 3x. Tərəflər vuruqlardır, hissələr isə çoxhədlinin hədləri.

vurma: 3x(x + 4) → 3x2 + 12xvuruqlara ayırma: 3x2 + 12x → 3x(x + 4)

Soldan sağa oxuyanda hasildən cəm alırıq. Sağdan sola oxuyanda isə cəmi hasil şəklində yazırıq. Ədədlərlə də belə edirdin: 36 = 4 · 9.

Dərslik xatırladır: A = B · C ifadəsində A-ya hasil, B və C-yə isə vuruq deyirik. Bu dərsdə verilmiş A çoxhədlisi üçün B və C vuruqlarını axtaracağıq.

2 · Qayda

Vuruqlara ayırma nədir?

Yadda saxla

«Çoxhədlinin, hər birinin dərəcəsi 1-dən kiçik olmayan çoxhədlilərin hasili şəklində göstərilməsi çoxhədlinin vuruqlara ayrılması adlanır.»

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Solda çoxhədli, sağda iki vuruq var; hər vuruğun dərəcəsi 1-dir.

Yoxlama — vurma

(x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6

Vuruqları vurub ilkin çoxhədlini alırıqsa, ayırma düzdür: 3x + 2x = 5x.

Ədədi vuruq sayılmır

4x + 8 = 4(x + 2)

4-ün dərəcəsi 0-dır. Ədədi vuruğu həmişə çıxarmaq olar, amma dərsliyə görə bu, vuruqlara ayırma hesab edilmir.

Həmişə alınmır

4a + b

Dərslik: «İstənilən çoxhədlini həmişə vuruqlara ayırmaq olmur.» Bu ikihədlinin hədlərinin ortaq vuruğu yoxdur.

Birhədlilərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB)

Ortaq vuruğu tapmaq üçün hər birhədlini sadə vuruqlara yazırıq: əmsalı sadə ədədlərə, qüvvəti isə təkrarlanan hərflərə. Sonra hər ikisində olan vuruqları seçirik.

20a²b³ və 8a³b birhədlilərinin ən böyük ortaq böləni

Mavi sütunlar hər iki birhədlidə olan vuruqlardır. Boş qırıq xanalar həmin vuruğun o birhədlidə olmadığını göstərir.

ƏBOB = əmsalların ƏBOB-u · hər ortaq hərf ən kiçik üstü ilə: ƏBOB(20a2b3; 8a3b) = 4a2b.

ƏKOB = əmsalların ƏKOB-u · hər hərf ən böyük üstü ilə: ƏKOB(20a2b3; 8a3b) = 40a3b3.

3 · Üsul 1

Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxar

Qayda

«Çoxhədlinin hədlərinin ortaq vuruğu varsa, həmin vuruq mötərizə xaricinə çıxarılır, digər hədlər isə mötərizənin daxilində yazılır.»

ma + mb = m(a + b)

Bu, paylama qanununun tərsidir. Mötərizəyə hər həddin ortaq vuruğa bölünməsindən alınan qismət yazılır.

Nümunə 1Birhədli ortaq vuruq

Vuruqlara ayırın: 20a2b3 − 8a3b.

1. Hədlərin ƏBOB-u (yuxarıdakı zolaq): 4a2b.
2. Hər həddi işarəsi ilə birlikdə ƏBOB-a bölürük: Hədlərin ortaq vuruğa bölünməsi Hədd : 4a2b Mötərizəyə 20a2b3 20 : 4 = 5, b3 : b = b2 5b2 −8a3b −8 : 4 = −2, a3 : a2 = a −2a
3. Yazırıq: 4a2b(5b2 − 2a). Mötərizədəki 5b2 və 2a hədlərinin artıq ortaq vuruğu yoxdur.
4. Yoxlayırıq: 4a2b · 5b2 = 20a2b3, 4a2b · (−2a) = −8a3b. 20a2b3 − 8a3b = 4a2b(5b2 − 2a)

Nümunə 2Yerində 1 qalır

Vuruqlara ayırın: 6y3 − 3y.

1. ƏBOB(6; 3) = 3, y-in kiçik üstü 1-dir: ortaq vuruq 3y.
2. Bölürük: 6y3 : 3y = 2y2, −3y : 3y = −1. Hədd tam çıxanda mötərizədə onun yerində 1 qalır. 6y3 − 3y = 3y(2y2 − 1)

Nümunə 3Ortaq vuruq ikihədlidir

Vuruqlara ayırın: 4b(c − 2) + 9(c − 2).

1. Hər iki həddə (c − 2) vuruğu var. Dərslik deyir: ortaq vuruq birhədli, ikihədli və s. ola bilər. Onu bir bütöv vuruq kimi çıxarırıq.
2. Mötərizəyə qalanlar: 4b və 9. 4b(c − 2) + 9(c − 2) = (c − 2)(4b + 9)

Nümunə 4Əks mötərizələr

Vuruqlara ayırın: 8a(b − 3) − 3(3 − b).

1. (b − 3) və (3 − b) bir-birinin əksidir: 3 − b = −(b − 3). Ədədlərlə: 7 − 2 = 5, 2 − 7 = −5. Ümumi qayda: a − b = −(b − a).
2. Əvəz edirik: −3 · (−(b − 3)) = +3(b − 3), yəni ifadə 8a(b − 3) + 3(b − 3) olur.
3. Ortaq vuruq (b − 3): 8a(b − 3) − 3(3 − b) = (b − 3)(8a + 3)

4 · Üsul 2

Qruplaşdırma üsulu

Qayda

«Bəzən çoxhədlinin bütün hədlərinin ortaq vuruğu olmur. Buna görə də əvvəl ortaq vuruğu olan hədləri qruplaşdırmaq lazımdır. Sonra isə ortaq vuruğun mötərizə xaricinə çıxarılması üsulundan istifadə edərək vuruqlara ayırmanı tam yerinə yetirmək olar.»

2ab + 6a + bc + 3c çoxhədlisinin dörd həddinin hamısında olan vuruq yoxdur. Amma 2ab və 6a-da 2a, bc və 3c-də c var.

2ab + 6a + bc + 3c= (2ab + 6a) + (bc + 3c)= 2a(b + 3) + c(b + 3)= (b + 3)(2a + c)

Hər qrupdan ortaq vuruq çıxanda eyni ikihədli alındı — indi o, bütün ifadənin ortaq vuruğudur.

2ab + 6a + bc + 3c qruplaşdırma ilə: (b + 3)(2a + c)

Başla Yenidən Yenidən

Hər sıra bir qrupdur: üst sıra 2a(b + 3), alt sıra c(b + 3). İki sıranın eni eynidir — b + 3.

Nümunə 5Mənfi qrup

Vuruqlara ayırın: 5xy + 15x − 2y − 6.

1. Qruplar: (5xy + 15x) və (−2y − 6). İkinci qrupdan −2 çıxarırıq ki, mötərizədə birinci qrupdakı ikihədli alınsın: −2y − 6 = −2(y + 3).
2. 5x(y + 3) − 2(y + 3) = (y + 3)(5x − 2).
3. Başqa qruplaşdırma da olar — eyni hasil alınır: (5xy − 2y) + (15x − 6)= y(5x − 2) + 3(5x − 2)= (5x − 2)(y + 3) 5xy + 15x − 2y − 6 = (y + 3)(5x − 2)

Nümunə 6Əvvəl yerini dəyiş

Vuruqlara ayırın: 2p2 − 3q + 6p − pq.

1. Yan-yana olan 2p2 və −3q hədlərinin ortaq vuruğu yoxdur. Toplananların yerini dəyişirik: 2p2 + 6p − pq − 3q.
2. 2p(p + 3) − q(p + 3).
3. Ortaq vuruq (p + 3). Yoxlama: (p + 3)(2p − q) = 2p2 − pq + 6p − 3q. 2p2 − 3q + 6p − pq = (p + 3)(2p − q)

5 · Üsul 3

Orta həddi iki yerə böl

x2 + 8x + 15 üçhədlisində qruplaşdırmaq üçün dörd hədd lazımdır. Dərslik məsləhət görür: bəzi üçhədlilərdə bir həddi iki birhədlinin cəmi kimi yazmaq olar ki, qruplaşdırma alınsın. 8x-i necə bölək?

8x-i belə yaz:

x + 7x 2x + 6x 3x + 5x 4x + 4x

x² + 8x + 15: 8x-i iki hissəyə bölüb düzbucaqlı qurmaq

x + 7x: x2 + x + 7x + 15 = x(x + 1) + (7x + 15). İkinci qrupda (x + 1) yoxdur — ortaq ikihədli alınmadı. Küncə 1 · 7 = 7 vahid lazımdır, bizdə isə 15 var.

2x + 6x: x(x + 2) + (6x + 15) = x(x + 2) + 3(2x + 5). Mötərizələr fərqlidir. Künc: 2 · 6 = 12, 15 deyil.

3x + 5x: x2 + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5). Künc: 3 · 5 = 15 — düzbucaqlı tamamlandı.

4x + 4x: x(x + 4) + (4x + 15). İkinci qrupda (x + 4) yoxdur. Künc: 4 · 4 = 16, 15 deyil.

Hissələrin cəmi həmişə 8-dir. Düzbucaqlının küncündə hasil qədər vahid kvadrat olmalıdır, çoxhədlidə isə 15 vahid var.

Deməli, iki ədəd axtarırıq: cəmi 8 (orta həddin əmsalı), hasili 15 (sərbəst hədd). Bunlar 3 və 5-dir.

Dərslikdəki alqoritm

x2 + px + q üçhədlisi üçün:

1. Hasili q, cəmi p olan iki ədəd tap.
2. px-i əmsalları bu ədədlər olan iki birhədlinin cəmi kimi yaz.
3. Qruplaşdırma aparmaqla çoxhədlini vuruqlara ayır.
4. Alınmış ikihədlilərin hasilini taparaq nəticəni yoxla.

Nümunə 7Mənfi ədədlərlə

Vuruqlara ayırın: a2 − 2a − 15.

1. Hasili −15, cəmi −2 olan iki ədəd: hasil mənfidir, deməli işarələr müxtəlifdir. 3 · (−5) = −15, 3 + (−5) = −2.
2. −2a-nı ayırırıq: a2 + 3a − 5a − 15.
3. Qruplaşdırırıq: a(a + 3) − 5(a + 3) = (a + 3)(a − 5).
4. Yoxlayırıq: (a + 3)(a − 5) = a2 − 5a + 3a − 15 = a2 − 2a − 15. a2 − 2a − 15 = (a + 3)(a − 5)

İşarələr necə seçilir?

Eyni hasil 8, müxtəlif işarələr

q müsbətdirsə, iki ədədin işarəsi eynidir və p-nin işarəsi ilə üst-üstə düşür. q mənfidirsə, işarələr müxtəlifdir: modulu böyük olan ədəd p-nin işarəsini alır.

Həmişə alınmır

x2 + 3x + 5

Hasili 5 olan tam ədədlər: 1 və 5 (cəm 6), −1 və −5 (cəm −6). Cəmi 3 olan cüt yoxdur. Dərslik: «Bu alqoritmi həmişə tətbiq etmək olmur.»

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Hər birini tutmağın bir yolu var: cavabı vurub yoxla.

1 itməsin

Səhv

5k2 + k = k · 5k

Yoxla: k · 5k = 5k2 — ikinci hədd (k) itdi.

Düz

5k2 + k = k(5k + 1)

k : k = 1, mötərizədə 1 qalır.

Mənfi qrupun işarələri

Səhv

−3b − 6 = −3(b − 2)

Açsaq: −3 · (−2) = +6 olar, bizdə isə −6 var.

Düz

−3b − 6 = −3(b + 2)

−3 çıxanda mötərizədə hər iki işarə dəyişir. Onda ab + 2a − 3b − 6 = (b + 2)(a − 3).

Cəmdə dayanma

Yarımçıq

x(y + 1) + 4(y + 1)

Bu hələ iki həddin cəmidir, hasil deyil.

Düz

(y + 1)(x + 4)

Ortaq ikihədlini çıxardıq — indi ifadə hasildir.

Tənliyi mötərizəyə bölmə

Səhv

x(x − 9) = 2(x − 9) ⇒ x = 2

Hər tərəfi (x − 9)-a bölmək x = 9 kökünü itirir: x = 9 olanda 0-a bölürük.

Düz

(x − 9)(x − 2) = 0

Hər şeyi bir tərəfə keçir və vuruqlara ayır: x = 9 və ya x = 2.

7 · Tətbiq

Vuruqlara ayırma nəyə lazımdır?

Kassada ağılda hesab. Bir dəftər 1,85 manatdır. Ayla 6, Murad 4 dəftər alır. Birlikdə nə qədər ödəyəcəklər?

6 · 1,85 + 4 · 1,85= (6 + 4) · 1,85 = 10 · 1,85 = 18,5 manat

Ortaq vuruq 1,85 olduğu üçün iki vurmanın əvəzinə bir asan vurma qaldı.

6 və 4 dəftər, hər biri 1,85 manat

Hər dəftərin qiyməti eynidir — o, ortaq vuruqdur.

Nümunə 8Qruplaşdırma ilə hesab

Hesablayın: 18 · 45 + 18 · 35 + 82 · 45 + 82 · 35.

1. İlk iki toplananda 18, son ikisində 82 ortaqdır: 18(45 + 35) + 82(45 + 35).
2. 18 · 80 + 82 · 80 = 80(18 + 82) = 80 · 100. 8000

Nümunə 9Şərtə görə qiymət

a − b = 3 və ab = 10 olarsa, a2b − ab2 ifadəsinin qiymətini tapın.

1. Ortaq vuruq ab: a2b − ab2 = ab(a − b).
2. Verilənləri yazırıq: 10 · 3 = 30. a və b-ni ayrıca tapmağa ehtiyac yoxdur.
3. Yoxlama (məsələn, a = 5, b = 2): 25 · 2 − 5 · 4 = 50 − 20 = 30. 30

Hasil sıfırdırsa

«Hasilin sıfıra bərabər olması üçün vuruqlardan, heç olmazsa, biri sıfıra bərabər olmalıdır.» Ona görə tənliyi əvvəl vuruqlara ayırırıq.

A · B = 0 ⇒ A = 0 və ya B = 0

Nümunə 10Tənlik

Tənliyi həll edin: x(x + 6) − 4(x + 6) = 0.

1. Ortaq vuruq (x + 6): (x + 6)(x − 4) = 0.
2. Vuruqlardan biri sıfırdır: x + 6 = 0 və ya x − 4 = 0.
3. Yoxlama: x = −6 olanda hər iki həddə (x + 6) = 0; x = 4 olanda 4 · 10 − 4 · 10 = 0. x = −6; x = 4

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan Ən böyük ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarın: 9m2 + 6m. Cavab variantları 3m(3m + 6) 3m(3m + 2) 3m2(3 + 2m) Düzdür! ƏBOB 3m, qismətlər 3m və 2. Yox. Hər həddi 3m-ə böl və cavabı vurub yoxla. Həllə bax ƏBOB(9; 6) = 3, m-in kiçik üstü 1: ortaq vuruq 3m. 9m2 : 3m = 3m, 6m : 3m = 2. Cavab: 3m(3m + 2).
2. Asan Boş yerə nə yazılmalıdır? 5p(p − 7) − 2(p − 7) = (p − 7)( … ) Cavab variantları 5p − 2 5p + 2 3p Əla! (p − 7) çıxanda 5p və −2 qalır. Yox. −2 işarəsi ilə birlikdə mötərizəyə keçir; 5p və −2 oxşar hədd deyil. Həllə bax Ortaq vuruq (p − 7). Birinci həddən 5p, ikincidən −2 qalır: (p − 7)(5p − 2).
3. Orta Vuruqlara ayırın: 4(a − 1) − a(1 − a). Cavab variantları (a − 1)(4 − a) (a − 1)(4 + a) (1 − a)(4 + a) Düzdür! −a(1 − a) = +a(a − 1). Yox. 1 − a = −(a − 1); mötərizəni çevirəndə qarşısındakı işarə də dəyişir. Həllə bax 1 − a = −(a − 1), ona görə −a(1 − a) = a(a − 1). İfadə 4(a − 1) + a(a − 1) = (a − 1)(4 + a) olur.
4. Orta Qruplaşdırma ilə vuruqlara ayırın: mn − 3m + 7n − 21. Cavab variantları (n + 3)(m − 7) (n − 3)(m − 7) (n − 3)(m + 7) Əla! m(n − 3) + 7(n − 3). Yox. İşarələri yoxla: hasili açanda −3m və +7n alınmalıdır. Həllə bax (mn − 3m) + (7n − 21) = m(n − 3) + 7(n − 3) = (n − 3)(m + 7).
5. Çətin Üçhədlini vuruqlara ayırın: x2 − x − 12. Cavab variantları (x + 4)(x − 3) (x − 4)(x + 3) (x − 6)(x + 2) Düzdür! −4 · 3 = −12, −4 + 3 = −1. Yox. Hasil −12, cəm isə −1 olmalıdır: hər iki şərti yoxla. Həllə bax Hasili −12, cəmi −1 olan ədədlər −4 və 3-dür. x2 − 4x + 3x − 12 = x(x − 4) + 3(x − 4) = (x − 4)(x + 3).
6. Çətin Tənliyin köklərini tapın: y(y − 5) + 3(y − 5) = 0. Cavab variantları yalnız 5 5 və 3 5 və −3 Əla! (y − 5)(y + 3) = 0. Yox. Vuruqlara ayır və hər vuruğu sıfıra bərabər et; y + 3 = 0-dan y = −3. Həllə bax (y − 5)(y + 3) = 0, deməli y − 5 = 0 və ya y + 3 = 0: y = 5 və ya y = −3.

Yekun

Yadda qalanlar

• Hasil şəklində yazÇoxhədlini dərəcəsi 1-dən kiçik olmayan vuruqların hasili kimi yazırıq. Yoxlamaq üçün vururuq.
• Üç üsulOrtaq vuruq (ƏBOB, əks mötərizələr), qruplaşdırma, orta həddi ayırma (hasil q, cəm p).
• TətbiqAğılda hesab, şərtə görə qiymət və tənlik: hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır.

Növbəti mövzu: 2.27 Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması

Mənbə: «Riyaziyyat. 7-ci sinif» dərsliyi, Bölmə 4, «8. Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması», səh. 102–108: tərif, birhədlilərin ƏBOB və ƏKOB-u, ortaq vuruğun mötərizə xaricinə çıxarılması, qruplaşdırma üsulu, orta həddin ayrılması alqoritmi və hasilin sıfıra bərabər olması. Dırnaq içindəki cümlələr dərslikdəndir. Dərsdəki bütün nümunə, məsələ və sual ədədləri bu dərs üçün seçilib.