Mətn
Anbarın bir küncü koordinat başlanğıcı götürülüb: Ox oxu şərqə, Oy oxu şimala, Oz oxu şaquli yuxarı yönəlib, uzunluq vahidi 1 m-dir; döşəmə Oxy müstəvisidir. Anbarda üç siqnal qurğusu A(5; 3; 2), B(1; 4; 1) və C(4; 0; 2) nöqtələrində asılıb. Robot döşəmədə elə P nöqtəsində dayanmalıdır ki, üç qurğudan bərabər uzaqlıqda olsun.
P nöqtəsinin koordinatlarını tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Bərabər məsafə — kvadratları bərabərləşdiririk
Qayda
Nöqtə iki (və ya üç) nöqtədən eyni məsafədədirsə, məsafələrin kvadratlarını bərabərləşdiririk: kök yox olur, x², y², z² hədləri isə qısalır və xətti tənlik qalır.
Naməlum nöqtənin harada yerləşdiyi (ox, müstəvi, döşəmə) koordinatlardan birini və ya ikisini sıfır edir.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələÜç nöqtədən bərabər uzaqlıqda olan döşəmə nöqtəsi
Döşəmədə (Oxy) A(5; 3; 2), B(1; 4; 1), C(4; 0; 2) nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda olan P nöqtəsini tapın.
- Döşəmə. P döşəmədədir: P(x; y; 0).
- Kvadratlar. PA² = (x − 5)² + (y − 3)² + 2², PB² = (x − 1)² + (y − 4)² + 1², PC² = (x − 4)² + y² + 2².
- PA² = PB². Mötərizələri açaq: x² − 10x + y² − 6y + 38 = x² − 2x + y² − 8y + 18. x² və y² qısalır: −8x + 2y = −20, yəni 4x − y = 10.
- PA² = PC². x² − 10x + y² − 6y + 38 = x² − 8x + y² + 20 ⇒ −2x − 6y = −18, yəni x + 3y = 9.
- Sistem. Birincidən y = 4x − 10; ikinciyə: x + 12x − 30 = 9 ⇒ x = 3, y = 2. P(3; 2; 0).
Cavab: (3; 2; 0)
Döşəmədə üç siqnal qurğusundan bərabər uzaqlıqda olan nöqtə
Döşəmədəki P(3; 2; 0) nöqtəsi üç qurğudan 3 m uzaqlıqdadır; qırıq xətlər qurğuların döşəməyə proyeksiyalarıdır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
PA² = (3 − 5)² + (2 − 3)² + 2² = 9, PB² = (3 − 1)² + (2 − 4)² + 1² = 9, PC² = (3 − 4)² + 2² + 2² = 9. Robot hər qurğudan 3 m uzaqlıqdadır.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
Ağırlıq mərkəzi ⇒ bərabər uzaqlıq
Ağırlıq mərkəzi yalnız bərabərtərəfli üçbucaqda təpələrdən bərabər uzaqdır.
Düzgün
PA² = PB², PA² = PC²
İki xətti tənlik, sonra yoxlama.
Digər cavablar niyə səhvdir
- (10/3; 7/3; 0) — Bu, ABC üçbucağının ağırlıq mərkəzinin döşəməyə proyeksiyasıdır. Ağırlıq mərkəzi təpələrdən bərabər uzaqlıqda olmur (üçbucaq bərabərtərəfli deyil: AB² = 18, AC² = 10, BC² = 26).
- (−3; −2; 0) — Tənliklərdə sərbəst hədlərin işarəsi səhv keçirilib (4x − y = −10 və x + 3y = −9 alınıb). Düzgün: 4x − y = 10, x + 3y = 9. Bu nöqtə anbardan kənardadır.
- (2; 3; 0) — x və y yerini dəyişib. Yoxlama: PA² = 9 + 0 + 4 = 13, PB² = 1 + 1 + 1 = 3 — bərabər deyil.
- (10/3; 7/3; 5/3) — Bu, ağırlıq mərkəzinin özüdür: döşəmədə deyil (z ≠ 0) və qurğulardan bərabər uzaqlıqda da deyil.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 34–41.