Mətn
Tənliyi verilmiş sferanın mərkəzini və radiusunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Tam kvadrat ayırırıq
Qayda
Tənlik x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 şəklindədirsə, hər dəyişən üçün tam kvadrat ayırırıq:
x² − 6x = (x − 3)² − 9
Bütün sabitləri sağ tərəfə keçirib (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = k alırıq. k > 0 olarsa, bu, mərkəzi (x₀; y₀; z₀), radiusu √k olan sferadır. Mərkəzin koordinatı x‑in əmsalının yarısının əks işarəlisidir.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələTam kvadrat ayırmaqla sferanın mərkəzi və radiusu
x² + y² + z² − 6x + 4y − 2z − 11 = 0 sferasının mərkəzini və radiusunu tapın.
- Dəyişənlərə görə qruplaşdırırıq. (x² − 6x) + (y² + 4y) + (z² − 2z) − 11 = 0.
- Hər qrupda tam kvadrat. Əmsalın yarısını kvadrata yüksəldib əlavə edir və çıxırıq (cədvələ baxın).
- Sabitləri sağa keçiririk. (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 9 + 4 + 1 + 11 = 25.
- Oxuyuruq. Mərkəz M(3; −2; 1), r² = 25 ⇒ r = 5.
Cavab: M(3; −2; 1), r = 5
Tam kvadratlar
| Qrup | Tam kvadrat |
|---|---|
| x² − 6x | (x − 3)² − 9 |
| y² + 4y | (y + 2)² − 4 |
| z² − 2z | (z − 1)² − 1 |
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
(x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 25 tənliyini açaq: x² − 6x + 9 + y² + 4y + 4 + z² − 2z + 1 − 25 = x² + y² + z² − 6x + 4y − 2z − 11 ✓.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
9 + 4 + 1 − 11 = 3
−11‑i sağ tərəfə keçirəndə işarəsini dəyişməmək.
Düzgün
9 + 4 + 1 + 11 = 25
Sol tərəfdəki −11 sağ tərəfə +11 kimi keçir.
Digər cavablar niyə səhvdir
- M(−3; 2; −1), r = 5 — Mərkəzin işarələri əksinə götürülüb. x² − 6x = (x − 3)² − 9, deməli x₀ = +3; y² + 4y = (y + 2)² − 4 ⇒ y₀ = −2.
- M(3; −2; 1), r = √3 — −11 sağ tərəfə keçəndə işarəsi dəyişməyib: 9 + 4 + 1 − 11 = 3 alınıb. Düzgünü 9 + 4 + 1 + 11 = 25.
- M(6; −4; 2), r = √67 — x, y, z‑in əmsalları ikiyə bölünməyib. Mərkəz əmsalın yarısıdır: −6x ⇒ x₀ = 3.
- M(3; −2; 1), r = 25 — 25 radiusun kvadratıdır: r = √25 = 5.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, tapşırıq 5–6.