Mətn
Hörner sxemini (sintetik bölməni) ardıcıl tətbiq edərək x = 2 ədədinin P(x) çoxhədlisinin neçə dəfə təkrarlanan kökü olduğunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Təkrarlanan kök
Qayda
P(x) = (x − m)ᵏ·Q(x) və Q(m) ≠ 0 olarsa, m ədədi P(x)-in k dəfə təkrarlanan köküdür.
k-nı tapmaq üçün P(x)-i x − m-ə Hörner sxemi ilə bölürük, qalıq 0 olduqca qisməti yenidən bölürük. Uğurlu bölmələrin sayı k-dır.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələKökün təkrarlanma sayı: Hörner sxemi
x = 2 ədədi P(x) = x⁴ − 5x³ + 6x² + 4x − 8 çoxhədlisinin neçə dəfə təkrarlanan köküdür?
- Birinci bölmə. 2 | 1 −5 6 4 −8 → 1 −3 0 4, qalıq 0. Qismət x³ − 3x² + 4.
- İkinci bölmə. 2 | 1 −3 0 4 → 1 −1 −2, qalıq 0. Qismət x² − x − 2.
- Üçüncü bölmə. 2 | 1 −1 −2 → 1 1, qalıq 0. Qismət x + 1.
- Dördüncü cəhd. 2 | 1 1 → 1, qalıq 3 ≠ 0 — dayanırıq.
- Nəticə. Üç uğurlu bölmə: P(x) = (x − 2)³(x + 1), 2 kökü 3 dəfə təkrarlanır.
Cavab: 3
Ardıcıl bölmə x − 2‑yə
| Bölünən (əmsallar) | Qismət (əmsallar) | Qalıq |
|---|---|---|
| 1 −5 6 4 −8 | 1 −3 0 4 | 0 |
| 1 −3 0 4 | 1 −1 −2 | 0 |
| 1 −1 −2 | 1 1 | 0 |
| 1 1 | 1 | 3 |
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
(x − 2)³(x + 1) = (x³ − 6x² + 12x − 8)(x + 1) = x⁴ − 5x³ + 6x² + 4x − 8 — P(x) alınır. Köklər 2; 2; 2; −1: dörd kök, dərəcə 4.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
Bir dəfə bölüb dayanmaq
Qismətdə də 2 kök ola bilər.
Düzgün
Qalıq 0 olduqca bölməni davam etdirmək
Qalıq 0 olmayanda dayanırıq: 3 bölmə ⇒ 3 dəfə.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 1 — Birinci bölmədən sonra dayanılıb. Alınan x³ − 3x² + 4 qismətində də 2 kökdür (8 − 12 + 4 = 0), ona görə bölməni davam etdirmək lazımdır.
- 2 — İki bölmədən sonra dayanılıb; x² − x − 2 qismətində də 2 kökdür: 4 − 2 − 2 = 0.
- 4 — Bu, çoxhədlinin dərəcəsidir. Dördüncü bölmədə qalıq 0 deyil (x + 1 qismətində 2 + 1 = 3 ≠ 0); dördüncü kök −1‑dir.
- 2 bu çoxhədlinin kökü deyil — P(2) səhv hesablanıb: 16 − 40 + 24 + 8 − 8 = 0, yəni 2 kökdür.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23; Hörner sxemi — «Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünməsi», səh. 9–10.