Mətn
Çoxhədli üçün P(1) = 0 olduğu məlumdur:
P(x) çoxhədlisinin kökləri haqqında hansı fikir doğrudur?
İzahı göstər
Çoxhədlinin vuruqları haqqında teorem · 11-ci sinif
Təkrarlanan kök
Əsas fikir
P(x) = (x − m)ᵏ·Q(x) və Q(m) ≠ 0 olarsa, m ədədi k dəfə təkrarlanan kökdür.
Ona görə də x − 1-ə bölməni qismətdə qalıq sıfırdan fərqli olanadək təkrarlayırıq və neçə dəfə bölündüyünü sayırıq. Çatışmayan x³ həddini 0 əmsalı ilə yazmağı unutmayın.
Addım-addım həll
- Əmsallar: 1, 0, −6, 8, −3. 1-ə bölürük: 1; 1; −5; 3; qalıq 0 ⇒ P(x) = (x − 1)(x³ + x² − 5x + 3).
- Qismətdə yenə x = 1 yoxlanır: 1 + 1 − 5 + 3 = 0. Yenidən bölürük: 1; 2; −3; qalıq 0 ⇒ x³ + x² − 5x + 3 = (x − 1)(x² + 2x − 3).
- x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3) — burada da x − 1 vuruğu var.
- Nəticə: P(x) = (x − 1)³(x + 3). Q(x) = x + 3 üçün Q(1) = 4 ≠ 0, deməli x = 1 üç dəfə təkrarlanan kök, x = −3 sadə kökdür.
| 1 | 1 | 0 | −6 | 8 | −3 |
| 1 | 1 | −5 | 3 | ||
| 1 | 1 | −5 | 3 | 0 |
Birinci bölmə: P(x)-in x − 1-ə sintetik bölünməsi.
| 1 | 1 | 1 | −5 | 3 |
| 1 | 2 | −3 | ||
| 1 | 2 | −3 | 0 |
İkinci bölmə: qismətin yenidən x − 1-ə bölünməsi.
Cavab: x = 1 üç dəfə təkrarlanan kökdür, x = −3 isə sadə kökdür.
Yoxlama
Vurub yoxlayaq: (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1; (x³ − 3x² + 3x − 1)(x + 3) = x⁴ + 3x³ − 3x³ − 9x² + 3x² + 9x − x − 3 = x⁴ − 6x² + 8x − 3 ✓. Dərəcələr də uyğundur: 3 + 1 = 4.
Niyə digər cavablar səhvdir
- x = 1 iki dəfə təkrarlanan kökdür, x = −3 isə sadə kökdür. — İki bölmədən sonra dayanılıb; x² + 2x − 3-ün içində də x − 1 vuruğu var. Bu halda dərəcə 2 + 1 = 3 olardı, P isə 4-cü dərəcəlidir.
- x = 1 və x = −3 köklərinin hər biri iki dəfə təkrarlanır. — (x − 1)²(x + 3)² = x⁴ + 4x³ − 2x² − 12x + 9 olur, verilmiş çoxhədli ilə üst-üstə düşmür.
- x = 1 sadə kökdür, x = −3 isə üç dəfə təkrarlanan kökdür. — Təkrarlanma sayları yerini dəyişib; (x − 1)(x + 3)³-də x³-ün əmsalı 8 olur, P-də isə 0-dır.
- x = −1 üç dəfə təkrarlanan kökdür, x = 3 isə sadə kökdür. — Köklərin işarəsi tərsinə çevrilib: P(−1) = 1 − 6 − 8 − 3 = −16 ≠ 0.
Mənbə: Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif, «Çoxhədlinin vuruqları haqqında teorem», s. 13–14 (teorem, kök anlayışı və sintetik bölmə). Sual orijinaldır; ədədlər və kontekst bu sual üçün yazılıb.